MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem1 Unicode version

Theorem ipcnlem1 18672
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcn.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
ipcn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
ipcn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
ipcn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
ipcn.w  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
ipcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ipcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ipcnlem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    A, r    B, r    D, r    x, y,
ph    x, r, y, T    U, r, x, y    ., , r    R, r    V, r, y
Allowed substitution hints:    ph( r)    A( x, y)    B( x, y)    D( x, y)    R( x, y)    ., ( x, y)    N( x, y, r)    V( x)    W( x, y, r)

Proof of Theorem ipcnlem1
StepHypRef Expression
1 ipcn.t . . . 4  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
2 ipcn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rphalfcld 10402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
4 ipcn.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
5 cphnlm 18608 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
64, 5syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
7 nlmngp 18188 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
9 ipcn.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
10 ipcn.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 ipcn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
1210, 11nmcl 18137 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
138, 9, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
1410, 11nmge0 18138 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
158, 9, 14syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
1613, 15ge0p1rpd 10416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
173, 16rpdivcld 10407 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
181, 17syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
19 ipcn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
20 ipcn.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
2110, 11nmcl 18137 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
228, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  e.  RR )
2318rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2422, 23readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR )
25 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2625a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2710, 11nmge0 18138 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
288, 20, 27syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  B ) )
2922, 18ltaddrpd 10419 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
3026, 22, 24, 28, 29lelttrd 8974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
3124, 30elrpd 10388 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR+ )
323, 31rpdivcld 10407 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )  e.  RR+ )
3319, 32syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
34 ifcl 3601 . . 3  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
3518, 33, 34syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
36 ipcn.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
37 ipcn.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
384adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  CPreHil )
399adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  A  e.  V )
4020adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  B  e.  V )
412adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
42 simprll 738 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  x  e.  V )
43 simprlr 739 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
y  e.  V )
448adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e. NrmGrp )
45 ngpms 18122 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
4644, 45syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
4710, 37mscl 18007 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  A  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( A D x )  e.  RR )
4846, 39, 42, 47syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  e.  RR )
4935adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
5049rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR )
5133rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5251adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  U  e.  RR )
53 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
5423adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  T  e.  RR )
55 min2 10518 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U
)
5654, 52, 55syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U )
5748, 50, 52, 53, 56ltletrd 8976 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  <  U )
588, 45syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
5958adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
6010, 37mscl 18007 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  B  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( B D y )  e.  RR )
6159, 40, 43, 60syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  e.  RR )
62 simprrr 741 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
63 min1 10517 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T
)
6454, 52, 63syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T )
6561, 50, 54, 62, 64ltletrd 8976 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  <  T )
6610, 36, 37, 11, 1, 19, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 57, 65ipcnlem2 18671 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R )
6766expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
6867ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
69 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( A D x )  <  r  <->  ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
70 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( B D y )  <  r  <->  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
7169, 70anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  <-> 
( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )
7271imbi1d 308 . . . 4  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( ( A D x )  < 
r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
)  <->  ( ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) ) )
73722ralbidv 2585 . . 3  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
)  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) ) )
7473rspcev 2884 . 2  |-  ( ( if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
) )
7535, 68, 74syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   abscabs 11719   Basecbs 13148   .icip 13213   distcds 13217   MetSpcmt 17883   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmModcnlm 18103   CPreHilccph 18602
This theorem is referenced by:  ipcn  18673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-topgen 13344  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-phl 16530  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-tng 18107  df-nlm 18109  df-clm 18561  df-cph 18604  df-tch 18605
  Copyright terms: Public domain W3C validator