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Theorem ipcnlem2 19198
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcn.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
ipcn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
ipcn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
ipcn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
ipcn.w  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
ipcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ipcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ipcn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
ipcn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
ipcn.1  |-  ( ph  ->  ( A D X )  <  U )
ipcn.2  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <  T )
Assertion
Ref Expression
ipcnlem2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <  R )

Proof of Theorem ipcnlem2
StepHypRef Expression
1 ipcn.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
2 ipcn.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 ipcn.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
4 ipcn.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 ipcn.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
64, 5cphipcl 19154 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  CC )
71, 2, 3, 6syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  e.  CC )
8 ipcn.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
9 ipcn.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
104, 5cphipcl 19154 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  CC )
111, 8, 9, 10syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
124, 5cphipcl 19154 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .,  Y )  e.  CC )
131, 2, 9, 12syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .,  Y
)  e.  CC )
14 ipcn.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1514rpred 10648 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
167, 13subcld 9411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  -  ( A  .,  Y ) )  e.  CC )
1716abscld 12238 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  e.  RR )
18 cphnlm 19135 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
191, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
20 nlmngp 18713 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
22 ipcn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
234, 22nmcl 18662 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2421, 2, 23syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
254, 22nmge0 18663 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
2621, 2, 25syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
2724, 26ge0p1rpd 10674 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
2827rpred 10648 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  +  1 )  e.  RR )
29 ngpms 18647 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
3021, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
31 ipcn.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  W
)
324, 31mscl 18491 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B D Y )  e.  RR )
3330, 3, 9, 32syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  e.  RR )
3428, 33remulcld 9116 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) )  e.  RR )
3515rehalfcld 10214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
3624, 33remulcld 9116 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) )  e.  RR )
37 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
385, 4, 37cphsubdi 19171 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( A  .,  ( B ( -g `  W ) Y ) )  =  ( ( A  .,  B )  -  ( A  .,  Y ) ) )
391, 2, 3, 9, 38syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( B ( -g `  W
) Y ) )  =  ( ( A 
.,  B )  -  ( A  .,  Y ) ) )
4039fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B (
-g `  W ) Y ) ) )  =  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) ) )
41 ngpgrp 18646 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  Grp )
4221, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
434, 37grpsubcl 14869 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B ( -g `  W ) Y )  e.  V )
4442, 3, 9, 43syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B ( -g `  W ) Y )  e.  V )
454, 5, 22ipcau 19195 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  ( B ( -g `  W
) Y )  e.  V )  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B ( -g `  W
) Y ) ) )  <_  ( ( N `  A )  x.  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) ) )
461, 2, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B (
-g `  W ) Y ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) ) )
4722, 4, 37, 31ngpds 18650 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B D Y )  =  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) )
4821, 3, 9, 47syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  =  ( N `
 ( B (
-g `  W ) Y ) ) )
4948oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) )  =  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) ) )
5046, 49breqtrrd 4238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B (
-g `  W ) Y ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( B D Y ) ) )
5140, 50eqbrtrrd 4234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  <_  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) ) )
52 msxms 18484 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *
MetSp )
5330, 52syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  * MetSp )
544, 31xmsge0 18493 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  * MetSp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  0  <_  ( B D Y ) )
5553, 3, 9, 54syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B D Y ) )
5624lep1d 9942 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  <_  ( ( N `  A )  +  1 ) )
5724, 28, 33, 55, 56lemul1ad 9950 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) )  <_  ( ( ( N `  A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) ) )
5817, 36, 34, 51, 57letrd 9227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  <_  ( (
( N `  A
)  +  1 )  x.  ( B D Y ) ) )
59 ipcn.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <  T )
60 ipcn.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
6159, 60syl6breq 4251 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( N `
 A )  +  1 ) ) )
6233, 35, 27ltmuldiv2d 10692 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N `  A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( B D Y )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  A )  +  1 ) ) ) )
6361, 62mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) )  <  ( R  / 
2 ) )
6417, 34, 35, 58, 63lelttrd 9228 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  <  ( R  /  2 ) )
6513, 11subcld 9411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  Y )  -  ( X  .,  Y ) )  e.  CC )
6665abscld 12238 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  e.  RR )
674, 31mscl 18491 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( A D X )  e.  RR )
6830, 2, 8, 67syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A D X )  e.  RR )
694, 22nmcl 18662 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
7021, 3, 69syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  e.  RR )
7114rphalfcld 10660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
7271, 27rpdivcld 10665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7360, 72syl5eqel 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
7473rpred 10648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7570, 74readdcld 9115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR )
7668, 75remulcld 9116 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  (
( N `  B
)  +  T ) )  e.  RR )
774, 22nmcl 18662 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  e.  RR )
7821, 9, 77syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  RR )
7968, 78remulcld 9116 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y )
)  e.  RR )
805, 4, 37cphsubdir 19170 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( A ( -g `  W
) X )  .,  Y )  =  ( ( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )
811, 2, 8, 9, 80syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  W ) X )  .,  Y
)  =  ( ( A  .,  Y )  -  ( X  .,  Y ) ) )
8281fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A ( -g `  W ) X ) 
.,  Y ) )  =  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) ) )
834, 37grpsubcl 14869 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( A ( -g `  W ) X )  e.  V )
8442, 2, 8, 83syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( -g `  W ) X )  e.  V )
854, 5, 22ipcau 19195 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A ( -g `  W
) X )  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( ( A ( -g `  W
) X )  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  ( A ( -g `  W
) X ) )  x.  ( N `  Y ) ) )
861, 84, 9, 85syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A ( -g `  W ) X ) 
.,  Y ) )  <_  ( ( N `
 ( A (
-g `  W ) X ) )  x.  ( N `  Y
) ) )
8722, 4, 37, 31ngpds 18650 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( A D X )  =  ( N `  ( A ( -g `  W
) X ) ) )
8821, 2, 8, 87syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D X )  =  ( N `
 ( A (
-g `  W ) X ) ) )
8988oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( N `  ( A ( -g `  W
) X ) )  x.  ( N `  Y ) ) )
9086, 89breqtrrd 4238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A ( -g `  W ) X ) 
.,  Y ) )  <_  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y
) ) )
9182, 90eqbrtrrd 4234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <_  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y
) ) )
924, 31xmsge0 18493 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  * MetSp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( A D X ) )
9353, 2, 8, 92syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A D X ) )
9478, 70resubcld 9465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  e.  RR )
954, 22, 37nm2dif 18671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( N `  Y
)  -  ( N `
 B ) )  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W
) B ) ) )
9621, 9, 3, 95syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W ) B ) ) )
9722, 4, 37, 31ngpdsr 18651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B D Y )  =  ( N `  ( Y ( -g `  W
) B ) ) )
9821, 3, 9, 97syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  =  ( N `
 ( Y (
-g `  W ) B ) ) )
9996, 98breqtrrd 4238 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  <_  ( B D Y ) )
10033, 74, 59ltled 9221 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <_  T )
10194, 33, 74, 99, 100letrd 9227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  <_  T )
10278, 70, 74lesubadd2d 9625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 Y )  -  ( N `  B ) )  <_  T  <->  ( N `  Y )  <_  (
( N `  B
)  +  T ) ) )
103101, 102mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  <_  ( ( N `  B )  +  T ) )
10478, 75, 68, 93, 103lemul2ad 9951 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y )
)  <_  ( ( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T
) ) )
10566, 79, 76, 91, 104letrd 9227 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <_  ( ( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T
) ) )
106 ipcn.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D X )  <  U )
107 ipcn.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
108106, 107syl6breq 4251 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A D X )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( N `
 B )  +  T ) ) )
109 0re 9091 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
110109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
1114, 22nmge0 18663 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
11221, 3, 111syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  B ) )
11370, 73ltaddrpd 10677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
114110, 70, 75, 112, 113lelttrd 9228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
115 ltmuldiv 9880 . . . . 5  |-  ( ( ( A D X )  e.  RR  /\  ( R  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 B )  +  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N `  B )  +  T ) ) )  ->  ( (
( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T ) )  <  ( R  / 
2 )  <->  ( A D X )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  B )  +  T ) ) ) )
11668, 35, 75, 114, 115syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T
) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( A D X )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  B )  +  T ) ) ) )
117108, 116mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  (
( N `  B
)  +  T ) )  <  ( R  /  2 ) )
11866, 76, 35, 105, 117lelttrd 9228 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <  ( R  /  2 ) )
1197, 11, 13, 15, 64, 118abs3lemd 12263 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( X 
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   2c2 10049   RR+crp 10612   abscabs 12039   Basecbs 13469   .icip 13534   distcds 13538   Grpcgrp 14685   -gcsg 14688   *
MetSpcxme 18347   MetSpcmt 18348   normcnm 18624  NrmGrpcngp 18625  NrmModcnlm 18628   CPreHilccph 19129
This theorem is referenced by:  ipcnlem1  19199
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-topgen 13667  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-staf 15933  df-srng 15934  df-lmod 15952  df-lmhm 16098  df-lvec 16175  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-phl 16857  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-tng 18632  df-nlm 18634  df-clm 19088  df-cph 19131  df-tch 19132
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