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Theorem ipcnlem2 18671
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcn.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
ipcn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
ipcn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
ipcn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
ipcn.w  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
ipcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ipcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ipcn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
ipcn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
ipcn.1  |-  ( ph  ->  ( A D X )  <  U )
ipcn.2  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <  T )
Assertion
Ref Expression
ipcnlem2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <  R )

Proof of Theorem ipcnlem2
StepHypRef Expression
1 ipcn.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
2 ipcn.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 ipcn.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
4 ipcn.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 ipcn.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
64, 5cphipcl 18627 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  CC )
71, 2, 3, 6syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  e.  CC )
8 ipcn.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
9 ipcn.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
104, 5cphipcl 18627 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  CC )
111, 8, 9, 10syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
124, 5cphipcl 18627 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .,  Y )  e.  CC )
131, 2, 9, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .,  Y
)  e.  CC )
14 ipcn.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1514rpred 10390 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
167, 13subcld 9157 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  -  ( A  .,  Y ) )  e.  CC )
1716abscld 11918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  e.  RR )
18 cphnlm 18608 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
191, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
20 nlmngp 18188 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
2119, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
22 ipcn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
234, 22nmcl 18137 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2421, 2, 23syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
254, 22nmge0 18138 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
2621, 2, 25syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
2724, 26ge0p1rpd 10416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
2827rpred 10390 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  +  1 )  e.  RR )
29 ngpms 18122 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
3021, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
31 ipcn.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  W
)
324, 31mscl 18007 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B D Y )  e.  RR )
3330, 3, 9, 32syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  e.  RR )
3428, 33remulcld 8863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) )  e.  RR )
3515rehalfcld 9958 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
3624, 33remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) )  e.  RR )
37 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
385, 4, 37cphsubdi 18644 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( A  .,  ( B ( -g `  W ) Y ) )  =  ( ( A  .,  B )  -  ( A  .,  Y ) ) )
391, 2, 3, 9, 38syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( B ( -g `  W
) Y ) )  =  ( ( A 
.,  B )  -  ( A  .,  Y ) ) )
4039fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B (
-g `  W ) Y ) ) )  =  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) ) )
41 ngpgrp 18121 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  Grp )
4221, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
434, 37grpsubcl 14546 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B ( -g `  W ) Y )  e.  V )
4442, 3, 9, 43syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B ( -g `  W ) Y )  e.  V )
454, 5, 22ipcau 18668 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  ( B ( -g `  W
) Y )  e.  V )  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B ( -g `  W
) Y ) ) )  <_  ( ( N `  A )  x.  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) ) )
461, 2, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B (
-g `  W ) Y ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) ) )
4722, 4, 37, 31ngpds 18125 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B D Y )  =  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) )
4821, 3, 9, 47syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  =  ( N `
 ( B (
-g `  W ) Y ) ) )
4948oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) )  =  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) ) )
5046, 49breqtrrd 4049 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B (
-g `  W ) Y ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( B D Y ) ) )
5140, 50eqbrtrrd 4045 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  <_  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) ) )
52 msxms 18000 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *
MetSp )
5330, 52syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  * MetSp )
544, 31xmsge0 18009 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  * MetSp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  0  <_  ( B D Y ) )
5553, 3, 9, 54syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B D Y ) )
5624lep1d 9688 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  <_  ( ( N `  A )  +  1 ) )
5724, 28, 33, 55, 56lemul1ad 9696 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) )  <_  ( ( ( N `  A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) ) )
5817, 36, 34, 51, 57letrd 8973 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  <_  ( (
( N `  A
)  +  1 )  x.  ( B D Y ) ) )
59 ipcn.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <  T )
60 ipcn.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
6159, 60syl6breq 4062 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( N `
 A )  +  1 ) ) )
6233, 35, 27ltmuldiv2d 10434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N `  A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( B D Y )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  A )  +  1 ) ) ) )
6361, 62mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) )  <  ( R  / 
2 ) )
6417, 34, 35, 58, 63lelttrd 8974 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  <  ( R  /  2 ) )
6513, 11subcld 9157 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  Y )  -  ( X  .,  Y ) )  e.  CC )
6665abscld 11918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  e.  RR )
674, 31mscl 18007 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( A D X )  e.  RR )
6830, 2, 8, 67syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A D X )  e.  RR )
694, 22nmcl 18137 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
7021, 3, 69syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  e.  RR )
7114rphalfcld 10402 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
7271, 27rpdivcld 10407 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7360, 72syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
7473rpred 10390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7570, 74readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR )
7668, 75remulcld 8863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  (
( N `  B
)  +  T ) )  e.  RR )
774, 22nmcl 18137 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  e.  RR )
7821, 9, 77syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  RR )
7968, 78remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y )
)  e.  RR )
805, 4, 37cphsubdir 18643 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( A ( -g `  W
) X )  .,  Y )  =  ( ( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )
811, 2, 8, 9, 80syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  W ) X )  .,  Y
)  =  ( ( A  .,  Y )  -  ( X  .,  Y ) ) )
8281fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A ( -g `  W ) X ) 
.,  Y ) )  =  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) ) )
834, 37grpsubcl 14546 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( A ( -g `  W ) X )  e.  V )
8442, 2, 8, 83syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( -g `  W ) X )  e.  V )
854, 5, 22ipcau 18668 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A ( -g `  W
) X )  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( ( A ( -g `  W
) X )  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  ( A ( -g `  W
) X ) )  x.  ( N `  Y ) ) )
861, 84, 9, 85syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A ( -g `  W ) X ) 
.,  Y ) )  <_  ( ( N `
 ( A (
-g `  W ) X ) )  x.  ( N `  Y
) ) )
8722, 4, 37, 31ngpds 18125 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( A D X )  =  ( N `  ( A ( -g `  W
) X ) ) )
8821, 2, 8, 87syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D X )  =  ( N `
 ( A (
-g `  W ) X ) ) )
8988oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( N `  ( A ( -g `  W
) X ) )  x.  ( N `  Y ) ) )
9086, 89breqtrrd 4049 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A ( -g `  W ) X ) 
.,  Y ) )  <_  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y
) ) )
9182, 90eqbrtrrd 4045 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <_  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y
) ) )
924, 31xmsge0 18009 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  * MetSp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( A D X ) )
9353, 2, 8, 92syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A D X ) )
9478, 70resubcld 9211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  e.  RR )
954, 22, 37nm2dif 18146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( N `  Y
)  -  ( N `
 B ) )  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W
) B ) ) )
9621, 9, 3, 95syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W ) B ) ) )
9722, 4, 37, 31ngpdsr 18126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B D Y )  =  ( N `  ( Y ( -g `  W
) B ) ) )
9821, 3, 9, 97syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  =  ( N `
 ( Y (
-g `  W ) B ) ) )
9996, 98breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  <_  ( B D Y ) )
10033, 74, 59ltled 8967 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <_  T )
10194, 33, 74, 99, 100letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  <_  T )
10278, 70, 74lesubadd2d 9371 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 Y )  -  ( N `  B ) )  <_  T  <->  ( N `  Y )  <_  (
( N `  B
)  +  T ) ) )
103101, 102mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  <_  ( ( N `  B )  +  T ) )
10478, 75, 68, 93, 103lemul2ad 9697 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y )
)  <_  ( ( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T
) ) )
10566, 79, 76, 91, 104letrd 8973 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <_  ( ( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T
) ) )
106 ipcn.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D X )  <  U )
107 ipcn.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
108106, 107syl6breq 4062 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A D X )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( N `
 B )  +  T ) ) )
109 0re 8838 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
110109a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
1114, 22nmge0 18138 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
11221, 3, 111syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  B ) )
11370, 73ltaddrpd 10419 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
114110, 70, 75, 112, 113lelttrd 8974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
115 ltmuldiv 9626 . . . . 5  |-  ( ( ( A D X )  e.  RR  /\  ( R  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 B )  +  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N `  B )  +  T ) ) )  ->  ( (
( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T ) )  <  ( R  / 
2 )  <->  ( A D X )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  B )  +  T ) ) ) )
11668, 35, 75, 114, 115syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T
) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( A D X )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  B )  +  T ) ) ) )
117108, 116mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  (
( N `  B
)  +  T ) )  <  ( R  /  2 ) )
11866, 76, 35, 105, 117lelttrd 8974 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <  ( R  /  2 ) )
1197, 11, 13, 15, 64, 118abs3lemd 11943 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( X 
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   abscabs 11719   Basecbs 13148   .icip 13213   distcds 13217   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   *
MetSpcxme 17882   MetSpcmt 17883   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmModcnlm 18103   CPreHilccph 18602
This theorem is referenced by:  ipcnlem1  18672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-topgen 13344  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-staf 15610  df-srng 15611  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-lvec 15856  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-phl 16530  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-tng 18107  df-nlm 18109  df-clm 18561  df-cph 18604  df-tch 18605
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