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Theorem ipcnval 11948
Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ipcnval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )

Proof of Theorem ipcnval
StepHypRef Expression
1 cjcl 11910 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  e.  CC )
2 remul 11934 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  B
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  ( * `  B ) ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  (
* `  B )
) ) ) )
31, 2sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  ( * `  B
) ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  ( * `  B ) ) ) ) )
4 recj 11929 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  B ) )  =  ( Re `  B
) )
54adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  (
* `  B )
)  =  ( Re
`  B ) )
65oveq2d 6097 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  ( * `  B ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) )
7 imcj 11937 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  B ) )  = 
-u ( Im `  B ) )
87adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  (
* `  B )
)  =  -u (
Im `  B )
)
98oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  ( * `  B ) ) )  =  ( ( Im
`  A )  x.  -u ( Im `  B
) ) )
10 imcl 11916 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1110recnd 9114 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
12 imcl 11916 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1312recnd 9114 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
14 mulneg2 9471 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Im `  A )  x.  -u (
Im `  B )
)  =  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )
1511, 13, 14syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  -u (
Im `  B )
)  =  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )
169, 15eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  ( * `  B ) ) )  =  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )
176, 16oveq12d 6099 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  (
* `  B )
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  ( * `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
18 recl 11915 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1918recnd 9114 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
20 recl 11915 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
2120recnd 9114 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
22 mulcl 9074 . . . 4  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
2319, 21, 22syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
24 mulcl 9074 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2511, 13, 24syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2623, 25subnegd 9418 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
273, 17, 263eqtrd 2472 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988    + caddc 8993    x. cmul 8995    - cmin 9291   -ucneg 9292   *ccj 11901   Recre 11902   Imcim 11903
This theorem is referenced by:  cjmulval  11950  ipcni  11995  ipcnd  12027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906
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