Theorem ipdiri 8573

Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (Base` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil

Assertion

Ref	Expression
ipdiri	|- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> ((AGB)PC) = ((APC) + (BPC)))

Proof of Theorem ipdiri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4026	. . . 4 |- (A = if(A e. X, A, (0v` U)) -> (AGB) = (if(A e. X, A, (0v` U))GB))
2	1	opreq1d 4033	. . 3 |- (A = if(A e. X, A, (0v` U)) -> ((AGB)PC) = ((if(A e. X, A, (0v` U))GB)PC))
3		opreq1 4026	. . . 4 |- (A = if(A e. X, A, (0v` U)) -> (APC) = (if(A e. X, A, (0v` U))PC))
4	3	opreq1d 4033	. . 3 |- (A = if(A e. X, A, (0v` U)) -> ((APC) + (BPC)) = ((if(A e. X, A, (0v` U))PC) + (BPC)))
5	2, 4	eqeq12d 1536	. 2 |- (A = if(A e. X, A, (0v` U)) -> (((AGB)PC) = ((APC) + (BPC)) <-> ((if(A e. X, A, (0v` U))GB)PC) = ((if(A e. X, A, (0v` U))PC) + (BPC))))
6		opreq2 4027	. . . 4 |- (B = if(B e. X, B, (0v` U)) -> (if(A e. X, A, (0v` U))GB) = (if(A e. X, A, (0v` U))Gif(B e. X, B, (0v` U))))
7	6	opreq1d 4033	. . 3 |- (B = if(B e. X, B, (0v` U)) -> ((if(A e. X, A, (0v` U))GB)PC) = ((if(A e. X, A, (0v` U))Gif(B e. X, B, (0v` U)))PC))
8		opreq1 4026	. . . 4 |- (B = if(B e. X, B, (0v` U)) -> (BPC) = (if(B e. X, B, (0v` U))PC))
9	8	opreq2d 4034	. . 3 |- (B = if(B e. X, B, (0v` U)) -> ((if(A e. X, A, (0v` U))PC) + (BPC)) = ((if(A e. X, A, (0v` U))PC) + (if(B e. X, B, (0v` U))PC)))
10	7, 9	eqeq12d 1536	. 2 |- (B = if(B e. X, B, (0v` U)) -> (((if(A e. X, A, (0v` U))GB)PC) = ((if(A e. X, A, (0v` U))PC) + (BPC)) <-> ((if(A e. X, A, (0v` U))Gif(B e. X, B, (0v` U)))PC) = ((if(A e. X, A, (0v` U))PC) + (if(B e. X, B, (0v` U))PC))))
11		opreq2 4027	. . 3 |- (C = if(C e. X, C, (0v` U)) -> ((if(A e. X, A, (0v` U))Gif(B e. X, B, (0v` U)))PC) = ((if(A e. X, A, (0v` U))Gif(B e. X, B, (0v` U)))Pif(C e. X, C, (0v` U))))
12		opreq2 4027	. . . 4 |- (C = if(C e. X, C, (0v` U)) -> (if(A e. X, A, (0v` U))PC) = (if(A e. X, A, (0v` U))Pif(C e. X, C, (0v` U))))
13		opreq2 4027	. . . 4 |- (C = if(C e. X, C, (0v` U)) -> (if(B e. X, B, (0v` U))PC) = (if(B e. X, B, (0v` U))Pif(C e. X, C, (0v` U))))
14	12, 13	opreq12d 4036	. . 3 |- (C = if(C e. X, C, (0v` U)) -> ((if(A e. X, A, (0v` U))PC) + (if(B e. X, B, (0v` U))PC)) = ((if(A e. X, A, (0v` U))Pif(C e. X, C, (0v` U))) + (if(B e. X, B, (0v` U))Pif(C e. X, C, (0v` U)))))
15	11, 14	eqeq12d 1536	. 2 |- (C = if(C e. X, C, (0v` U)) -> (((if(A e. X, A, (0v` U))Gif(B e. X, B, (0v` U)))PC) = ((if(A e. X, A, (0v` U))PC) + (if(B e. X, B, (0v` U))PC)) <-> ((if(A e. X, A, (0v` U))Gif(B e. X, B, (0v` U)))Pif(C e. X, C, (0v` U))) = ((if(A e. X, A, (0v` U))Pif(C e. X, C, (0v` U))) + (if(B e. X, B, (0v` U))Pif(C e. X, C, (0v` U))))))
16		ip1i.1	. . 3 |- X = (Base` U)
17		ip1i.2	. . 3 |- G = (+v` U)
18		ip1i.4	. . 3 |- S = (.s` U)
19		ip1i.7	. . 3 |- P = (.i` U)
20		ip1i.9	. . 3 |- U e. CPreHil
21		eqid 1522	. . . 4 |- (0v` U) = (0v` U)
22	16, 21, 20	elimph 8563	. . 3 |- if(A e. X, A, (0v` U)) e. X
23	16, 21, 20	elimph 8563	. . 3 |- if(B e. X, B, (0v` U)) e. X
24	16, 21, 20	elimph 8563	. . 3 |- if(C e. X, C, (0v` U)) e. X
25	16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24	ipdirilem 8572	. 2 |- ((if(A e. X, A, (0v` U))Gif(B e. X, B, (0v` U)))Pif(C e. X, C, (0v` U))) = ((if(A e. X, A, (0v` U))Pif(C e. X, C, (0v` U))) + (if(B e. X, B, (0v` U))Pif(C e. X, C, (0v` U))))
26	5, 10, 15, 25	dedth3h 2440	1 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> ((AGB)PC) = ((APC) + (BPC)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 787   = wceq 997   e. wcel 999  ifcif 2413  ` cfv 3239  (class class class)co 4021   + caddc 5302  +vcpv 8288  Basecba 8289  .scns 8290  0vcn0v 8291  .icip 8433  CPreHilcphl 8555

This theorem is referenced by:  ipasslem1 8574  ipasslem2 8575  ipasslem11 8584  ipdir 8586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-3 6032  df-4 6033  df-n0 6182  df-z 6218  df-uz 6444  df-fz 6494  df-seq1 6567  df-shft 6600  df-seqz 6622  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-abs 6844  df-sum 7070  df-grp 8122  df-gid 8123  df-ginv 8124  df-abl 8184  df-vc 8249  df-nv 8295  df-va 8298  df-ba 8299  df-sm 8300  df-0v 8301  df-nm 8303  df-ip 8434  df-ph 8556

Copyright terms: Public domain