MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdirilem Unicode version

Theorem ipdirilem 21407
Description: Lemma for ipdiri 21408. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipdiri.8  |-  A  e.  X
ipdiri.9  |-  B  e.  X
ipdiri.10  |-  C  e.  X
Assertion
Ref Expression
ipdirilem  |-  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )

Proof of Theorem ipdirilem
StepHypRef Expression
1 2cn 9816 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
2 2ne0 9829 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
31, 2recidi 9491 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
43oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) S ( A G B ) )  =  ( 1 S ( A G B ) )
5 ip1i.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
65phnvi 21394 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
71, 2reccli 9490 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
8 ipdiri.8 . . . . . . . 8  |-  A  e.  X
9 ipdiri.9 . . . . . . . 8  |-  B  e.  X
10 ip1i.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
11 ip1i.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( +v `  U
)
1210, 11nvgcl 21176 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
136, 8, 9, 12mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( A G B )  e.  X
141, 7, 133pm3.2i 1130 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  /\  (
1  /  2 )  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X )
15 ip1i.4 . . . . . . 7  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
1610, 15nvsass 21186 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X ) )  ->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) S ( A G B ) )  =  ( 2 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) ) )
176, 14, 16mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) S ( A G B ) )  =  ( 2 S ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) )
1810, 15nvsid 21185 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X )  ->  (
1 S ( A G B ) )  =  ( A G B ) )
196, 13, 18mp2an 653 . . . . 5  |-  ( 1 S ( A G B ) )  =  ( A G B )
204, 17, 193eqtr3i 2311 . . . 4  |-  ( 2 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) )  =  ( A G B )
2120oveq1i 5868 . . 3  |-  ( ( 2 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) ) P C )  =  ( ( A G B ) P C )
22 ip1i.7 . . . 4  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
2310, 15nvscl 21184 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  2 )  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X )  ->  (
( 1  /  2
) S ( A G B ) )  e.  X )
246, 7, 13, 23mp3an 1277 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) )  e.  X
25 ipdiri.10 . . . 4  |-  C  e.  X
2610, 11, 15, 22, 5, 24, 25ip2i 21406 . . 3  |-  ( ( 2 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) ) P C )  =  ( 2  x.  (
( ( 1  / 
2 ) S ( A G B ) ) P C ) )
2721, 26eqtr3i 2305 . 2  |-  ( ( A G B ) P C )  =  ( 2  x.  (
( ( 1  / 
2 ) S ( A G B ) ) P C ) )
28 neg1cn 9813 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
2910, 15nvscl 21184 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
306, 28, 9, 29mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( -u
1 S B )  e.  X
3110, 11nvgcl 21176 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
326, 8, 30, 31mp3an 1277 . . . 4  |-  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X
3310, 15nvscl 21184 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  2 )  e.  CC  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )  ->  (
( 1  /  2
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  X )
346, 7, 32, 33mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  X
3510, 11, 15, 22, 5, 24, 34, 25ip1i 21405 . 2  |-  ( ( ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) P C )  +  ( ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) P C ) )
36 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  U )  =  ( 1st `  U )
3736nvvc 21171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 1st `  U
)  e.  CVec OLD )
386, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  U )  e.  CVec OLD
3911vafval 21159 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( 1st `  ( 1st `  U ) )
4039vcablo 21113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  U )  e.  CVec OLD  ->  G  e. 
AbelOp )
4138, 40ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  G  e. 
AbelOp
428, 9pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
438, 30pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )
4410, 11bafval 21160 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ran  G
4544ablo4 20954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X
) )  ->  (
( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( A G A ) G ( B G (
-u 1 S B ) ) ) )
4641, 42, 43, 45mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( A G A ) G ( B G (
-u 1 S B ) ) )
4715smfval 21161 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( 2nd `  ( 1st `  U ) )
4839, 47, 44vc2 21111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  U
)  e.  CVec OLD  /\  A  e.  X )  ->  ( A G A )  =  ( 2 S A ) )
4938, 8, 48mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( A G A )  =  ( 2 S A )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
5110, 11, 15, 50nvrinv 21211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( -u 1 S B ) )  =  ( 0vec `  U
) )
526, 9, 51mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( B G ( -u 1 S B ) )  =  ( 0vec `  U
)
5349, 52oveq12i 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( A G A ) G ( B G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( 2 S A ) G ( 0vec `  U
) )
5410, 15nvscl 21184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  2  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
2 S A )  e.  X )
556, 1, 8, 54mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 S A )  e.  X
5610, 11, 50nv0rid 21193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2 S A )  e.  X )  -> 
( ( 2 S A ) G (
0vec `  U )
)  =  ( 2 S A ) )
576, 55, 56mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 S A ) G ( 0vec `  U
) )  =  ( 2 S A )
5846, 53, 573eqtri 2307 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( 2 S A )
5958oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( 2 S A ) )
607, 1, 83pm3.2i 1130 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  A  e.  X )
6110, 15nvsass 21186 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  x.  2 ) S A )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( 2 S A ) ) )
626, 60, 61mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 ) S A )  =  ( ( 1  / 
2 ) S ( 2 S A ) )
6359, 62eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  2 ) S A )
647, 13, 323pm3.2i 1130 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )
6510, 11, 15nvdi 21188 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) S ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )
666, 64, 65mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  / 
2 ) S ( A G ( -u
1 S B ) ) ) )
67 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
6867, 1, 2divcan1i 9504 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
6968oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 ) S A )  =  ( 1 S A )
7010, 15nvsid 21185 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 S A )  =  A )
716, 8, 70mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( 1 S A )  =  A
7269, 71eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 ) S A )  =  A
7363, 66, 723eqtr3i 2311 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )  =  A
7473oveq1i 5868 . . 3  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) P C )  =  ( A P C )
7528, 7mulcomi 8843 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  -u 1 )
7675oveq1i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  x.  (
1  /  2 ) ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  -u 1 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) )
7728, 7, 323pm3.2i 1130 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( A G ( -u
1 S B ) )  e.  X )
7810, 15nvsass 21186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( A G ( -u
1 S B ) )  e.  X ) )  ->  ( ( -u 1  x.  ( 1  /  2 ) ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )
796, 77, 78mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  x.  (
1  /  2 ) ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )
807, 28, 323pm3.2i 1130 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )
8110, 15nvsass 21186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  2
)  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  ( A G ( -u
1 S B ) )  e.  X ) )  ->  ( (
( 1  /  2
)  x.  -u 1
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( -u 1 S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )
826, 80, 81mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  -u 1
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( -u 1 S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )
8328, 8, 303pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  e.  CC  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )
8410, 11, 15nvdi 21188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X ) )  ->  ( -u 1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( -u
1 S A ) G ( -u 1 S ( -u 1 S B ) ) ) )
856, 83, 84mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( -u
1 S A ) G ( -u 1 S ( -u 1 S B ) ) )
8667, 67mul2negi 9227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1  x.  -u 1
)  =  ( 1  x.  1 )
87 1t1e1 9870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
8886, 87eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  x.  -u 1
)  =  1
8988oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  x.  -u 1
) S B )  =  ( 1 S B )
9028, 28, 93pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )
9110, 15nvsass 21186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( -u 1  x.  -u 1
) S B )  =  ( -u 1 S ( -u 1 S B ) ) )
926, 90, 91mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  x.  -u 1
) S B )  =  ( -u 1 S ( -u 1 S B ) )
9310, 15nvsid 21185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
1 S B )  =  B )
946, 9, 93mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 S B )  =  B
9589, 92, 943eqtr3i 2311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 S ( -u
1 S B ) )  =  B
9695oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1 S A ) G ( -u
1 S ( -u
1 S B ) ) )  =  ( ( -u 1 S A ) G B )
9785, 96eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( -u
1 S A ) G B )
9897oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( -u 1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( ( -u
1 S A ) G B ) )
9982, 98eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  -u 1
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( ( -u 1 S A ) G B ) )
10076, 79, 993eqtr3i 2311 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( ( -u
1 S A ) G B ) )
101100oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2 ) S ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )
10210, 15nvscl 21184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
1036, 28, 8, 102mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 S A )  e.  X
10410, 11nvgcl 21176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1 S A )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G B )  e.  X )
1056, 103, 9, 104mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1 S A ) G B )  e.  X
1067, 13, 1053pm3.2i 1130 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( (
-u 1 S A ) G B )  e.  X )
10710, 11, 15nvdi 21188 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X  /\  (
( -u 1 S A ) G B )  e.  X ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2
) S ( (
-u 1 S A ) G B ) ) ) )
1086, 106, 107mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2
) S ( (
-u 1 S A ) G B ) ) )
109101, 108eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )
110103, 9pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1 S A )  e.  X  /\  B  e.  X )
11144ablo4 20954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( -u 1 S A )  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( A G B ) G ( (
-u 1 S A ) G B ) )  =  ( ( A G ( -u
1 S A ) ) G ( B G B ) ) )
11241, 42, 110, 111mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  ( ( A G B ) G ( ( -u
1 S A ) G B ) )  =  ( ( A G ( -u 1 S A ) ) G ( B G B ) )
11310, 11, 15, 50nvrinv 21211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A G ( -u 1 S A ) )  =  ( 0vec `  U
) )
1146, 8, 113mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( A G ( -u 1 S A ) )  =  ( 0vec `  U
)
115114oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A G ( -u
1 S A ) ) G ( B G B ) )  =  ( ( 0vec `  U ) G ( B G B ) )
11610, 11nvgcl 21176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G B )  e.  X )
1176, 9, 9, 116mp3an 1277 . . . . . . . . . 10  |-  ( B G B )  e.  X
11810, 11, 50nv0lid 21194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B G B )  e.  X )  ->  (
( 0vec `  U ) G ( B G B ) )  =  ( B G B ) )
1196, 117, 118mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( (
0vec `  U ) G ( B G B ) )  =  ( B G B )
120115, 119eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  ( ( A G ( -u
1 S A ) ) G ( B G B ) )  =  ( B G B )
12139, 47, 44vc2 21111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  U
)  e.  CVec OLD  /\  B  e.  X )  ->  ( B G B )  =  ( 2 S B ) )
12238, 9, 121mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( B G B )  =  ( 2 S B )
123112, 120, 1223eqtri 2307 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) G ( ( -u
1 S A ) G B ) )  =  ( 2 S B )
124123oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )  =  ( ( 1  / 
2 ) S ( 2 S B ) )
1257, 1, 93pm3.2i 1130 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  B  e.  X )
12610, 15nvsass 21186 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  x.  2 ) S B )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( 2 S B ) ) )
1276, 125, 126mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 ) S B )  =  ( ( 1  / 
2 ) S ( 2 S B ) )
12868oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 ) S B )  =  ( 1 S B )
129124, 127, 1283eqtr2i 2309 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )  =  ( 1 S B )
130109, 129, 943eqtri 2307 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )  =  B
131130oveq1i 5868 . . 3  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) S ( A G B ) ) G ( -u
1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) P C )  =  ( B P C )
13274, 131oveq12i 5870 . 2  |-  ( ( ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) P C )  +  ( ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) ) P C ) )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )
13327, 35, 1323eqtr2i 2309 1  |-  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   AbelOpcablo 20948   CVec
OLDcvc 21101   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143   0veccn0v 21144   .i
OLDcdip 21273   CPreHil OLDccphlo 21390
This theorem is referenced by:  ipdiri  21408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-dip 21274  df-ph 21391
  Copyright terms: Public domain W3C validator