Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipffval Structured version   Unicode version

Theorem ipffval 16884
 Description: The inner product operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipffval.1
ipffval.2
ipffval.3
Assertion
Ref Expression
ipffval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem ipffval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipffval.3 . 2
2 fveq2 5731 . . . . . 6
3 ipffval.1 . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2488 . . . . 5
5 fveq2 5731 . . . . . . 7
6 ipffval.2 . . . . . . 7
75, 6syl6eqr 2488 . . . . . 6
87oveqd 6101 . . . . 5
94, 4, 8mpt2eq123dv 6139 . . . 4
10 df-ipf 16863 . . . 4
11 df-ov 6087 . . . . . . . 8
12 fvrn0 5756 . . . . . . . 8
1311, 12eqeltri 2508 . . . . . . 7
1413rgen2w 2776 . . . . . 6
15 eqid 2438 . . . . . . 7
1615fmpt2 6421 . . . . . 6
1714, 16mpbi 201 . . . . 5
18 fvex 5745 . . . . . . 7
193, 18eqeltri 2508 . . . . . 6
2019, 19xpex 4993 . . . . 5
21 fvex 5745 . . . . . . . 8
226, 21eqeltri 2508 . . . . . . 7
2322rnex 5136 . . . . . 6
24 p0ex 4389 . . . . . 6
2523, 24unex 4710 . . . . 5
26 fex2 5606 . . . . 5
2717, 20, 25, 26mp3an 1280 . . . 4
289, 10, 27fvmpt 5809 . . 3
29 fvprc 5725 . . . . 5
30 mpt20 6430 . . . . 5
3129, 30syl6eqr 2488 . . . 4
32 fvprc 5725 . . . . . 6
333, 32syl5eq 2482 . . . . 5
34 mpt2eq12 6137 . . . . 5
3533, 33, 34syl2anc 644 . . . 4
3631, 35eqtr4d 2473 . . 3
3728, 36pm2.61i 159 . 2
381, 37eqtri 2458 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   cun 3320  c0 3630  csn 3816  cop 3819   cxp 4879   crn 4882  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  cbs 13474  cip 13539  cipf 16861 This theorem is referenced by:  ipfval  16885  ipfeq  16886  ipffn  16887  phlipf  16888 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-ipf 16863
 Copyright terms: Public domain W3C validator