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Theorem ipidsq 21286
Description: The inner product of a vector with itself is the square of the vector's norm. Equation I4 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipid.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipid.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
ipid.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
ipidsq  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )

Proof of Theorem ipidsq
StepHypRef Expression
1 ipid.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
4 ipid.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 ipid.7 . . . 4  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 21280 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
763anidm23 1241 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
81, 2, 3nv2 21190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) A )  =  ( 2 ( .s OLD `  U
) A ) )
98fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) A ) )  =  ( N `  ( 2 ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
10 2re 9815 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
11 0re 8838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
12 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
1311, 10, 12ltleii 8941 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
1410, 13pm3.2i 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )
151, 3, 4nvsge0 21229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  (
2 ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A ) ) )
1614, 15mp3an2 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( 2
( .s OLD `  U
) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A
) ) )
179, 16eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A
) ) )
1817oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  ( N `  A ) ) ^
2 ) )
191, 4nvcl 21225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2019recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  CC )
21 2cn 9816 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
22 2nn0 9982 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
23 mulexp 11141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N `  A )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2421, 22, 23mp3an13 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2520, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
26 sq2 11199 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2726oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )  =  ( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )
2825, 27syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2918, 28eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
311, 2, 3, 30nvrinv 21211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( 0vec `  U ) )
3231fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .s OLD `  U
) A ) ) )  =  ( N `
 ( 0vec `  U
) ) )
3330, 4nvz0 21234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( 0vec `  U )
)  =  0 )
3433adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( 0vec `  U ) )  =  0 )
3532, 34eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .s OLD `  U
) A ) ) )  =  0 )
3635oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .s OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
37 sq0 11195 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
3836, 37syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .s OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  =  0 )
3929, 38oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  -  0 ) )
40 4cn 9820 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
4120sqcld 11243 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
42 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4340, 41, 42sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4443subid1d 9146 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  -  0 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
4539, 44eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( N `
 A ) ^
2 ) ) )
46 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
4746renegcli 9108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  RR
48 absreim 11778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  -u 1  e.  RR )  ->  ( abs `  (
1  +  ( _i  x.  -u 1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  (
-u 1 ^ 2 ) ) ) )
4946, 47, 48mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1
) ) )  =  ( sqr `  (
( 1 ^ 2 )  +  ( -u
1 ^ 2 ) ) )
50 ax-icn 8796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  e.  CC
51 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
5250, 51mulneg2i 9226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u ( _i  x.  1 )
5350mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5453negeqi 9045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
_i  x.  1 )  =  -u _i
5552, 54eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u _i
5655oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1 ) )  =  ( 1  +  -u _i )
5756fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1
) ) )  =  ( abs `  (
1  +  -u _i ) )
58 sqneg 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
5951, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
6059oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( -u 1 ^ 2 ) )  =  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) )
6160fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  (
-u 1 ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  (
( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
6249, 57, 613eqtr3i 2311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
63 absreim 11778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( abs `  (
1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) ) )
6446, 46, 63mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
6553oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) )  =  ( 1  +  _i )
6665fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( abs `  ( 1  +  _i ) )
6762, 64, 663eqtr2i 2309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  =  ( abs `  ( 1  +  _i ) )
6867oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) )  =  ( ( abs `  (
1  +  _i ) )  x.  ( N `
 A ) )
6950negcli 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u _i  e.  CC
7051, 69addcli 8841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  -u _i )  e.  CC
711, 3, 4nvs 21228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  +  -u _i )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
7270, 71mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
7351, 50addcli 8841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  _i )  e.  CC
741, 3, 4nvs 21228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  +  _i )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  _i ) )  x.  ( N `  A )
) )
7573, 74mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  _i ) )  x.  ( N `  A )
) )
7668, 72, 753eqtr4a 2341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( ( 1  +  _i ) ( .s OLD `  U
) A ) ) )
771, 2, 3nvdir 21189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .s OLD `  U
) A ) ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )
7851, 77mp3anr1 1274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .s OLD `  U
) A ) ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )
7969, 78mpanr1 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .s OLD `  U
) A ) ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )
801, 3nvsid 21185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 ( .s OLD `  U ) A )  =  A )
8180oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1 ( .s
OLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) (
-u _i ( .s
OLD `  U ) A ) )  =  ( A ( +v
`  U ) (
-u _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
8279, 81eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )
8382fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) )
841, 2, 3nvdir 21189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( 1  +  _i ) ( .s
OLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .s
OLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) ( _i ( .s OLD `  U ) A ) ) )
8551, 84mp3anr1 1274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
_i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  _i ) ( .s OLD `  U
) A )  =  ( ( 1 ( .s OLD `  U
) A ) ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
8650, 85mpanr1 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .s OLD `  U
) A ) ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
8780oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1 ( .s
OLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) ( _i ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )
8886, 87eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
8988fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) )
9076, 83, 893eqtr3d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) ) )
9190oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )
9291oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
931, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 21279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
9450, 93mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
95943anidm23 1241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
9695subidd 9145 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
9792, 96eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
9897oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
9950mul01i 9002 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
10098, 99syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  0 )
10145, 100oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) A ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .s OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  +  0 ) )
10243addid1d 9012 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  +  0 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
103101, 102eqtr2d 2316 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
104103oveq1d 5873 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
105 4re 9819 . . . . 5  |-  4  e.  RR
106 4pos 9832 . . . . 5  |-  0  <  4
107105, 106gt0ne0ii 9309 . . . 4  |-  4  =/=  0
108 divcan3 9448 . . . 4  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC  /\  4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
10940, 107, 108mp3an23 1269 . . 3  |-  ( ( ( N `  A
) ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
11041, 109syl 15 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
1117, 104, 1103eqtr2d 2321 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   4c4 9797   NN0cn0 9965   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143   0veccn0v 21144   normCVcnmcv 21146   .i OLDcdip 21273
This theorem is referenced by:  ipnm  21287  ipz  21295  pythi  21428  siilem1  21429  hlipgt0  21493  htthlem  21497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-dip 21274
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