MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipodrsfi Unicode version

Theorem ipodrsfi 14282
Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ipodrsfi  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  A  U. X  C_  z )
Distinct variable groups:    z, A    z, X

Proof of Theorem ipodrsfi
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  X  C_  A
)
2 ipodrscl 14281 . . . . . 6  |-  ( (toInc `  A )  e. Dirset  ->  A  e.  _V )
3 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (toInc `  A )  =  (toInc `  A )
43ipobas 14274 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  A  =  ( Base `  (toInc `  A ) ) )
52, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( (toInc `  A )  e. Dirset  ->  A  =  ( Base `  (toInc `  A ) ) )
653ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  A  =  (
Base `  (toInc `  A
) ) )
71, 6sseqtrd 3227 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  X  C_  ( Base `  (toInc `  A
) ) )
8 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  (toInc `  A )
)  =  ( Base `  (toInc `  A )
)
9 eqid 2296 . . . 4  |-  ( le
`  (toInc `  A
) )  =  ( le `  (toInc `  A ) )
108, 9drsdirfi 14088 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  ( Base `  (toInc `  A
) )  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z )
117, 10syld3an2 1229 . 2  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  (
Base `  (toInc `  A
) ) A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z )
126rexeqdv 2756 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  A  A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z  <->  E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z ) )
1323ad2ant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  A  e.  _V )
1413adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  ->  A  e.  _V )
151sselda 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  w  e.  X
)  ->  w  e.  A )
1615adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  ->  w  e.  A )
17 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  -> 
z  e.  A )
183, 9ipole 14277 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  w  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( w ( le
`  (toInc `  A
) ) z  <->  w  C_  z
) )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  -> 
( w ( le
`  (toInc `  A
) ) z  <->  w  C_  z
) )
2019anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e. 
Fin )  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  X )  ->  (
w ( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  w  C_  z ) )
2120ralbidva 2572 . . . . 5  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  z  e.  A
)  ->  ( A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  A. w  e.  X  w  C_  z ) )
22 unissb 3873 . . . . 5  |-  ( U. X  C_  z  <->  A. w  e.  X  w  C_  z
)
2321, 22syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  z  e.  A
)  ->  ( A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  U. X  C_  z ) )
2423rexbidva 2573 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  A  A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z  <->  E. z  e.  A  U. X  C_  z ) )
2512, 24bitr3d 246 . 2  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  E. z  e.  A  U. X  C_  z ) )
2611, 25mpbid 201 1  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  A  U. X  C_  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Fincfn 6879   Basecbs 13164   lecple 13231  Dirsetcdrs 14077  toInccipo 14270
This theorem is referenced by:  isacs3lem  14285  isnacs3  26888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ocomp 13245  df-preset 14078  df-drs 14079  df-poset 14096  df-ipo 14271
  Copyright terms: Public domain W3C validator