MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipodrsfi Unicode version

Theorem ipodrsfi 14552
Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ipodrsfi  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  A  U. X  C_  z )
Distinct variable groups:    z, A    z, X

Proof of Theorem ipodrsfi
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  X  C_  A
)
2 ipodrscl 14551 . . . . . 6  |-  ( (toInc `  A )  e. Dirset  ->  A  e.  _V )
3 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  (toInc `  A )  =  (toInc `  A )
43ipobas 14544 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  A  =  ( Base `  (toInc `  A ) ) )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( (toInc `  A )  e. Dirset  ->  A  =  ( Base `  (toInc `  A ) ) )
653ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  A  =  (
Base `  (toInc `  A
) ) )
71, 6sseqtrd 3352 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  X  C_  ( Base `  (toInc `  A
) ) )
8 eqid 2412 . . . 4  |-  ( Base `  (toInc `  A )
)  =  ( Base `  (toInc `  A )
)
9 eqid 2412 . . . 4  |-  ( le
`  (toInc `  A
) )  =  ( le `  (toInc `  A ) )
108, 9drsdirfi 14358 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  ( Base `  (toInc `  A
) )  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z )
117, 10syld3an2 1231 . 2  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  (
Base `  (toInc `  A
) ) A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z )
126rexeqdv 2879 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  A  A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z  <->  E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z ) )
1323ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  A  e.  _V )
1413adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  ->  A  e.  _V )
151sselda 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  w  e.  X
)  ->  w  e.  A )
1615adantrl 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  ->  w  e.  A )
17 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  -> 
z  e.  A )
183, 9ipole 14547 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  w  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( w ( le
`  (toInc `  A
) ) z  <->  w  C_  z
) )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  -> 
( w ( le
`  (toInc `  A
) ) z  <->  w  C_  z
) )
2019anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e. 
Fin )  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  X )  ->  (
w ( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  w  C_  z ) )
2120ralbidva 2690 . . . . 5  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  z  e.  A
)  ->  ( A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  A. w  e.  X  w  C_  z ) )
22 unissb 4013 . . . . 5  |-  ( U. X  C_  z  <->  A. w  e.  X  w  C_  z
)
2321, 22syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  z  e.  A
)  ->  ( A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  U. X  C_  z ) )
2423rexbidva 2691 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  A  A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z  <->  E. z  e.  A  U. X  C_  z ) )
2512, 24bitr3d 247 . 2  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  E. z  e.  A  U. X  C_  z ) )
2611, 25mpbid 202 1  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  A  U. X  C_  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   U.cuni 3983   class class class wbr 4180   ` cfv 5421   Fincfn 7076   Basecbs 13432   lecple 13499  Dirsetcdrs 14347  toInccipo 14540
This theorem is referenced by:  isacs3lem  14555  isnacs3  26662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ocomp 13513  df-preset 14348  df-drs 14349  df-poset 14366  df-ipo 14541
  Copyright terms: Public domain W3C validator