Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipodrsfi Structured version   Unicode version

Theorem ipodrsfi 14594
 Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ipodrsfi toInc Dirset
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ipodrsfi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 959 . . . 4 toInc Dirset
2 ipodrscl 14593 . . . . . 6 toInc Dirset
3 eqid 2438 . . . . . . 7 toInc toInc
43ipobas 14586 . . . . . 6 toInc
52, 4syl 16 . . . . 5 toInc Dirset toInc
653ad2ant1 979 . . . 4 toInc Dirset toInc
71, 6sseqtrd 3386 . . 3 toInc Dirset toInc
8 eqid 2438 . . . 4 toInc toInc
9 eqid 2438 . . . 4 toInc toInc
108, 9drsdirfi 14400 . . 3 toInc Dirset toInc toInc toInc
117, 10syld3an2 1232 . 2 toInc Dirset toInc toInc
126rexeqdv 2913 . . 3 toInc Dirset toInc toInc toInc
1323ad2ant1 979 . . . . . . . . 9 toInc Dirset
1413adantr 453 . . . . . . . 8 toInc Dirset
151sselda 3350 . . . . . . . . 9 toInc Dirset
1615adantrl 698 . . . . . . . 8 toInc Dirset
17 simprl 734 . . . . . . . 8 toInc Dirset
183, 9ipole 14589 . . . . . . . 8 toInc
1914, 16, 17, 18syl3anc 1185 . . . . . . 7 toInc Dirset toInc
2019anassrs 631 . . . . . 6 toInc Dirset toInc
2120ralbidva 2723 . . . . 5 toInc Dirset toInc
22 unissb 4047 . . . . 5
2321, 22syl6bbr 256 . . . 4 toInc Dirset toInc
2423rexbidva 2724 . . 3 toInc Dirset toInc
2512, 24bitr3d 248 . 2 toInc Dirset toInc toInc
2611, 25mpbid 203 1 toInc Dirset
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322  cuni 4017   class class class wbr 4215  cfv 5457  cfn 7112  cbs 13474  cple 13541  Dirsetcdrs 14389  toInccipo 14582 This theorem is referenced by:  isacs3lem  14597  isnacs3  26778 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ocomp 13555  df-preset 14390  df-drs 14391  df-poset 14408  df-ipo 14583
 Copyright terms: Public domain W3C validator