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Theorem ipodrsima 14520
Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipodrsima.f  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P A
)
ipodrsima.m  |-  ( (
ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  -> 
( F `  u
)  C_  ( F `  v ) )
ipodrsima.d  |-  ( ph  ->  (toInc `  B )  e. Dirset )
ipodrsima.s  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P A
)
ipodrsima.a  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ipodrsima  |-  ( ph  ->  (toInc `  ( F " B ) )  e. Dirset
)
Distinct variable groups:    ph, u, v   
u, A, v    u, F, v
Allowed substitution hints:    B( v, u)    V( v, u)

Proof of Theorem ipodrsima
Dummy variables  a 
b  c  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipodrsima.a . . 3  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  e.  V )
2 elex 2909 . . 3  |-  ( ( F " B )  e.  V  ->  ( F " B )  e. 
_V )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  e.  _V )
4 ipodrsima.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  (toInc `  B )  e. Dirset )
5 isipodrs 14516 . . . . 5  |-  ( (toInc `  B )  e. Dirset  <->  ( B  e.  _V  /\  B  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b )  C_  c
) )
64, 5sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  _V  /\  B  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
a  u.  b ) 
C_  c ) )
76simp2d 970 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
8 ipodrsima.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P A
)
9 ipodrsima.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P A
)
10 fnimaeq0 5508 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( ( F " B )  =  (/) 
<->  B  =  (/) ) )
118, 9, 10syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F " B )  =  (/)  <->  B  =  (/) ) )
1211necon3bid 2587 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F " B )  =/=  (/)  <->  B  =/=  (/) ) )
137, 12mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  =/=  (/) )
146simp3d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b
)  C_  c )
15 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  ph )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  a  C_  c )
179ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  B  C_  ~P A )
18 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  c  e.  B )
1917, 18sseldd 3294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  c  e.  ~P A )
2019elpwid 3753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  c  C_  A )
2120adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  c  C_  A )
22 vex 2904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  a  e. 
_V
23 vex 2904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  c  e. 
_V
24 sseq12 3316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( u  C_  v  <->  a 
C_  c ) )
25 sseq1 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  c  ->  (
v  C_  A  <->  c  C_  A ) )
2625adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( v  C_  A  <->  c 
C_  A ) )
2724, 26anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( u  C_  v  /\  v  C_  A
)  <->  ( a  C_  c  /\  c  C_  A
) ) )
2827anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  <-> 
( ph  /\  (
a  C_  c  /\  c  C_  A ) ) ) )
29 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  a  ->  ( F `  u )  =  ( F `  a ) )
30 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  c  ->  ( F `  v )  =  ( F `  c ) )
31 sseq12 3316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 a )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  a ) 
C_  ( F `  c ) ) )
3229, 30, 31syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  a ) 
C_  ( F `  c ) ) )
3328, 32imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  ->  ( F `  u )  C_  ( F `  v )
)  <->  ( ( ph  /\  ( a  C_  c  /\  c  C_  A ) )  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  c )
) ) )
34 ipodrsima.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  -> 
( F `  u
)  C_  ( F `  v ) )
3522, 23, 33, 34vtocl2 2952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  c  /\  c  C_  A ) )  -> 
( F `  a
)  C_  ( F `  c ) )
3615, 16, 21, 35syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  c
) )
3736ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( a  C_  c  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  c )
) )
38 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  ph )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  b  C_  c )
4020adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  c  C_  A )
41 vex 2904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  b  e. 
_V
42 sseq12 3316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( u  C_  v  <->  b 
C_  c ) )
4325adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( v  C_  A  <->  c 
C_  A ) )
4442, 43anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( u  C_  v  /\  v  C_  A
)  <->  ( b  C_  c  /\  c  C_  A
) ) )
4544anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  <-> 
( ph  /\  (
b  C_  c  /\  c  C_  A ) ) ) )
46 fveq2 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  b  ->  ( F `  u )  =  ( F `  b ) )
47 sseq12 3316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 b )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  b ) 
C_  ( F `  c ) ) )
4846, 30, 47syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  b ) 
C_  ( F `  c ) ) )
4945, 48imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  ->  ( F `  u )  C_  ( F `  v )
)  <->  ( ( ph  /\  ( b  C_  c  /\  c  C_  A ) )  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  c )
) ) )
5041, 23, 49, 34vtocl2 2952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  c  /\  c  C_  A ) )  -> 
( F `  b
)  C_  ( F `  c ) )
5138, 39, 40, 50syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  c
) )
5251ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( b  C_  c  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  c )
) )
5337, 52anim12d 547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( (
a  C_  c  /\  b  C_  c )  -> 
( ( F `  a )  C_  ( F `  c )  /\  ( F `  b
)  C_  ( F `  c ) ) ) )
54 unss 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  C_  c  /\  b  C_  c )  <->  ( a  u.  b )  C_  c
)
55 unss 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  a
)  C_  ( F `  c )  /\  ( F `  b )  C_  ( F `  c
) )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
)
5653, 54, 553imtr3g 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( (
a  u.  b ) 
C_  c  ->  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
5756anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B
)  /\  c  e.  B )  ->  (
( a  u.  b
)  C_  c  ->  ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
5857reximdva 2763 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  ( E. c  e.  B  ( a  u.  b
)  C_  c  ->  E. c  e.  B  ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
5958ralimdva 2729 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b
)  C_  c  ->  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
6059ralimdva 2729 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b )  C_  c  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
6114, 60mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
62 uneq1 3439 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x  u.  y )  =  ( ( F `
 a )  u.  y ) )
6362sseq1d 3320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x  u.  y
)  C_  z  <->  ( ( F `  a )  u.  y )  C_  z
) )
6463rexbidv 2672 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( E. z  e.  ( F " B ) ( x  u.  y ) 
C_  z  <->  E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
6564ralbidv 2671 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F
" B ) ( x  u.  y ) 
C_  z  <->  A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
6665ralima 5919 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( A. x  e.  ( F " B ) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
678, 9, 66syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( F " B
) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
68 uneq2 3440 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  u.  y )  =  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) ) )
6968sseq1d 3320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a )  u.  y
)  C_  z  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z
) )
7069rexbidv 2672 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  ( E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a
)  u.  y ) 
C_  z  <->  E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z
) )
7170ralima 5919 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  z ) )
728, 9, 71syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  z ) )
73 sseq2 3315 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  z  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
7473rexima 5918 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  z 
<->  E. c  e.  B  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
758, 9, 74syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z  <->  E. c  e.  B  ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7675ralbidv 2671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  B  E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7772, 76bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7877ralbidv 2671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7967, 78bitrd 245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( F " B
) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
8061, 79mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( F " B ) A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B ) ( x  u.  y
)  C_  z )
81 isipodrs 14516 . 2  |-  ( (toInc `  ( F " B
) )  e. Dirset  <->  ( ( F " B )  e. 
_V  /\  ( F " B )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( F " B ) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z
) )
823, 13, 80, 81syl3anbrc 1138 1  |-  ( ph  ->  (toInc `  ( F " B ) )  e. Dirset
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   _Vcvv 2901    u. cun 3263    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   "cima 4823    Fn wfn 5391   ` cfv 5396  Dirsetcdrs 14313  toInccipo 14506
This theorem is referenced by:  isacs4lem  14523  isnacs3  26457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ocomp 13479  df-preset 14314  df-drs 14315  df-poset 14332  df-ipo 14507
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