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Theorem ipodrsima 14284
Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipodrsima.f  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P A
)
ipodrsima.m  |-  ( (
ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  -> 
( F `  u
)  C_  ( F `  v ) )
ipodrsima.d  |-  ( ph  ->  (toInc `  B )  e. Dirset )
ipodrsima.s  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P A
)
ipodrsima.a  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ipodrsima  |-  ( ph  ->  (toInc `  ( F " B ) )  e. Dirset
)
Distinct variable groups:    ph, u, v   
u, A, v    u, F, v
Allowed substitution hints:    B( v, u)    V( v, u)

Proof of Theorem ipodrsima
Dummy variables  a 
b  c  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipodrsima.a . . 3  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  e.  V )
2 elex 2809 . . 3  |-  ( ( F " B )  e.  V  ->  ( F " B )  e. 
_V )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  e.  _V )
4 ipodrsima.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  (toInc `  B )  e. Dirset )
5 isipodrs 14280 . . . . 5  |-  ( (toInc `  B )  e. Dirset  <->  ( B  e.  _V  /\  B  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b )  C_  c
) )
64, 5sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  _V  /\  B  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
a  u.  b ) 
C_  c ) )
76simp2d 968 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
8 ipodrsima.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P A
)
9 ipodrsima.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P A
)
10 fnimaeq0 5381 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( ( F " B )  =  (/) 
<->  B  =  (/) ) )
118, 9, 10syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F " B )  =  (/)  <->  B  =  (/) ) )
1211necon3bid 2494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F " B )  =/=  (/)  <->  B  =/=  (/) ) )
137, 12mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  =/=  (/) )
146simp3d 969 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b
)  C_  c )
15 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  ph )
16 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  a  C_  c )
179ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  B  C_  ~P A )
18 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  c  e.  B )
1917, 18sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  c  e.  ~P A )
20 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  ~P A  -> 
c  C_  A )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  c  C_  A )
2221adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  c  C_  A )
23 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  a  e. 
_V
24 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  c  e. 
_V
25 sseq12 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( u  C_  v  <->  a 
C_  c ) )
26 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  c  ->  (
v  C_  A  <->  c  C_  A ) )
2726adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( v  C_  A  <->  c 
C_  A ) )
2825, 27anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( u  C_  v  /\  v  C_  A
)  <->  ( a  C_  c  /\  c  C_  A
) ) )
2928anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  <-> 
( ph  /\  (
a  C_  c  /\  c  C_  A ) ) ) )
30 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  a  ->  ( F `  u )  =  ( F `  a ) )
31 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  c  ->  ( F `  v )  =  ( F `  c ) )
32 sseq12 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 a )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  a ) 
C_  ( F `  c ) ) )
3330, 31, 32syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  a ) 
C_  ( F `  c ) ) )
3429, 33imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  ->  ( F `  u )  C_  ( F `  v )
)  <->  ( ( ph  /\  ( a  C_  c  /\  c  C_  A ) )  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  c )
) ) )
35 ipodrsima.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  -> 
( F `  u
)  C_  ( F `  v ) )
3623, 24, 34, 35vtocl2 2852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  c  /\  c  C_  A ) )  -> 
( F `  a
)  C_  ( F `  c ) )
3715, 16, 22, 36syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  c
) )
3837ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( a  C_  c  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  c )
) )
39 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  ph )
40 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  b  C_  c )
4121adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  c  C_  A )
42 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  b  e. 
_V
43 sseq12 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( u  C_  v  <->  b 
C_  c ) )
4426adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( v  C_  A  <->  c 
C_  A ) )
4543, 44anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( u  C_  v  /\  v  C_  A
)  <->  ( b  C_  c  /\  c  C_  A
) ) )
4645anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  <-> 
( ph  /\  (
b  C_  c  /\  c  C_  A ) ) ) )
47 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  b  ->  ( F `  u )  =  ( F `  b ) )
48 sseq12 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 b )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  b ) 
C_  ( F `  c ) ) )
4947, 31, 48syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  b ) 
C_  ( F `  c ) ) )
5046, 49imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  ->  ( F `  u )  C_  ( F `  v )
)  <->  ( ( ph  /\  ( b  C_  c  /\  c  C_  A ) )  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  c )
) ) )
5142, 24, 50, 35vtocl2 2852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  c  /\  c  C_  A ) )  -> 
( F `  b
)  C_  ( F `  c ) )
5239, 40, 41, 51syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  c
) )
5352ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( b  C_  c  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  c )
) )
5438, 53anim12d 546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( (
a  C_  c  /\  b  C_  c )  -> 
( ( F `  a )  C_  ( F `  c )  /\  ( F `  b
)  C_  ( F `  c ) ) ) )
55 unss 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  C_  c  /\  b  C_  c )  <->  ( a  u.  b )  C_  c
)
56 unss 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  a
)  C_  ( F `  c )  /\  ( F `  b )  C_  ( F `  c
) )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
)
5754, 55, 563imtr3g 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( (
a  u.  b ) 
C_  c  ->  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
5857anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B
)  /\  c  e.  B )  ->  (
( a  u.  b
)  C_  c  ->  ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
5958reximdva 2668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  ( E. c  e.  B  ( a  u.  b
)  C_  c  ->  E. c  e.  B  ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
6059ralimdva 2634 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b
)  C_  c  ->  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
6160ralimdva 2634 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b )  C_  c  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
6214, 61mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
63 uneq1 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x  u.  y )  =  ( ( F `
 a )  u.  y ) )
6463sseq1d 3218 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x  u.  y
)  C_  z  <->  ( ( F `  a )  u.  y )  C_  z
) )
6564rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( E. z  e.  ( F " B ) ( x  u.  y ) 
C_  z  <->  E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
6665ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F
" B ) ( x  u.  y ) 
C_  z  <->  A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
6766ralima 5774 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( A. x  e.  ( F " B ) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
688, 9, 67syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( F " B
) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
69 uneq2 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  u.  y )  =  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) ) )
7069sseq1d 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a )  u.  y
)  C_  z  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z
) )
7170rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  ( E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a
)  u.  y ) 
C_  z  <->  E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z
) )
7271ralima 5774 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  z ) )
738, 9, 72syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  z ) )
74 sseq2 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  z  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
7574rexima 5773 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  z 
<->  E. c  e.  B  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
768, 9, 75syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z  <->  E. c  e.  B  ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7776ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  B  E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7873, 77bitrd 244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7978ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
8068, 79bitrd 244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( F " B
) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
8162, 80mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( F " B ) A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B ) ( x  u.  y
)  C_  z )
82 isipodrs 14280 . 2  |-  ( (toInc `  ( F " B
) )  e. Dirset  <->  ( ( F " B )  e. 
_V  /\  ( F " B )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( F " B ) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z
) )
833, 13, 81, 82syl3anbrc 1136 1  |-  ( ph  ->  (toInc `  ( F " B ) )  e. Dirset
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   "cima 4708    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  Dirsetcdrs 14077  toInccipo 14270
This theorem is referenced by:  isacs4lem  14287  isnacs3  26888
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ocomp 13245  df-preset 14078  df-drs 14079  df-poset 14096  df-ipo 14271
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