MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipole Unicode version

Theorem ipole 14261
Description: Weak order condition of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipoval.i  |-  I  =  (toInc `  F )
ipole.l  |-  .<_  =  ( le `  I )
Assertion
Ref Expression
ipole  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  C_  Y
) )

Proof of Theorem ipole
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 preq12 3708 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y } )
21sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( { x ,  y }  C_  F  <->  { X ,  Y }  C_  F ) )
3 sseq12 3201 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( x  C_  y  <->  X 
C_  Y ) )
42, 3anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
)  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
64, 5brabga 4279 . . 3  |-  ( ( X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
763adant1 973 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
8 ipoval.i . . . . . 6  |-  I  =  (toInc `  F )
98ipolerval 14259 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
10 ipole.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  I )
119, 10syl6reqr 2334 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  .<_  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } )
1211breqd 4034 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( X  .<_  Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
) } Y ) )
13123ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
) } Y ) )
14 prssi 3771 . . . 4  |-  ( ( X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  { X ,  Y }  C_  F )
15143adant1 973 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  { X ,  Y }  C_  F )
1615biantrurd 494 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  C_  Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
177, 13, 163bitr4d 276 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  C_  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   {cpr 3641   class class class wbr 4023   {copab 4076   ` cfv 5255   lecple 13215  toInccipo 14254
This theorem is referenced by:  ipolt  14262  ipopos  14263  isipodrs  14264  ipodrsfi  14266  mrelatglb  14287  mrelatglb0  14288  mrelatlub  14289  thlleval  16598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ocomp 13229  df-ipo 14255
  Copyright terms: Public domain W3C validator