MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipole Structured version   Unicode version

Theorem ipole 14585
Description: Weak order condition of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipoval.i  |-  I  =  (toInc `  F )
ipole.l  |-  .<_  =  ( le `  I )
Assertion
Ref Expression
ipole  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  C_  Y
) )

Proof of Theorem ipole
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 preq12 3886 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y } )
21sseq1d 3376 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( { x ,  y }  C_  F  <->  { X ,  Y }  C_  F ) )
3 sseq12 3372 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( x  C_  y  <->  X 
C_  Y ) )
42, 3anbi12d 693 . . . 4  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
)  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
5 eqid 2437 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
64, 5brabga 4470 . . 3  |-  ( ( X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
763adant1 976 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
8 ipoval.i . . . . . 6  |-  I  =  (toInc `  F )
98ipolerval 14583 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
10 ipole.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  I )
119, 10syl6reqr 2488 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  .<_  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } )
1211breqd 4224 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( X  .<_  Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
) } Y ) )
13123ad2ant1 979 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
) } Y ) )
14 prssi 3955 . . . 4  |-  ( ( X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  { X ,  Y }  C_  F )
15143adant1 976 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  { X ,  Y }  C_  F )
1615biantrurd 496 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  C_  Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
177, 13, 163bitr4d 278 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  C_  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3321   {cpr 3816   class class class wbr 4213   {copab 4266   ` cfv 5455   lecple 13537  toInccipo 14578
This theorem is referenced by:  ipolt  14586  ipopos  14587  isipodrs  14588  ipodrsfi  14590  mrelatglb  14611  mrelatglb0  14612  mrelatlub  14613  thlleval  16926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ocomp 13551  df-ipo 14579
  Copyright terms: Public domain W3C validator