MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipolerval Unicode version

Theorem ipolerval 14510
Description: Relation of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipoval.i  |-  I  =  (toInc `  F )
Assertion
Ref Expression
ipolerval  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, I, y    x, V, y

Proof of Theorem ipolerval
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y )  ->  { x ,  y }  C_  F )
2 vex 2903 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3 vex 2903 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
42, 3prss 3896 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  F  /\  y  e.  F )  <->  { x ,  y } 
C_  F )
51, 4sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y )  -> 
( x  e.  F  /\  y  e.  F
) )
65ssopab2i 4424 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } 
C_  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  F  /\  y  e.  F ) }
7 df-xp 4825 . . . . 5  |-  ( F  X.  F )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  F  /\  y  e.  F ) }
86, 7sseqtr4i 3325 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } 
C_  ( F  X.  F )
9 xpexg 4930 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  V  /\  F  e.  V )  ->  ( F  X.  F
)  e.  _V )
109anidms 627 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  ( F  X.  F )  e. 
_V )
11 ssexg 4291 . . . 4  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) }  C_  ( F  X.  F
)  /\  ( F  X.  F )  e.  _V )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  e.  _V )
128, 10, 11sylancr 645 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  e.  _V )
13 ipostr 14507 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) Struct  <. 1 , ; 1 1 >.
14 pleid 13550 . . . 4  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
15 snsspr1 3891 . . . . 5  |-  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. } 
C_  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. }
16 ssun2 3455 . . . . 5  |-  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } )
1715, 16sstri 3301 . . . 4  |-  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. } 
C_  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  F >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } )
>. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. } )
1813, 14, 17strfv 13429 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
) }  e.  _V  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) ) )
1912, 18syl 16 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) ) )
20 ipoval.i . . . 4  |-  I  =  (toInc `  F )
21 eqid 2388 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
2220, 21ipoval 14508 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  I  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  F >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } )
>. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. } ) )
2322fveq2d 5673 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  ( le `  I )  =  ( le `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) ) )
2419, 23eqtr4d 2423 1  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654   _Vcvv 2900    u. cun 3262    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   {csn 3758   {cpr 3759   <.cop 3761   U.cuni 3958   {copab 4207    e. cmpt 4208    X. cxp 4817   ` cfv 5395   1c1 8925  ;cdc 10315   ndxcnx 13394   Basecbs 13397  TopSetcts 13463   lecple 13464   occoc 13465  ordTopcordt 13649  toInccipo 14505
This theorem is referenced by:  ipotset  14511  ipole  14512  thlle  16848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ocomp 13478  df-ipo 14506
  Copyright terms: Public domain W3C validator