MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipolerval Unicode version

Theorem ipolerval 14275
Description: Relation of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipoval.i  |-  I  =  (toInc `  F )
Assertion
Ref Expression
ipolerval  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, I, y    x, V, y

Proof of Theorem ipolerval
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y )  ->  { x ,  y }  C_  F )
2 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
42, 3prss 3785 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  F  /\  y  e.  F )  <->  { x ,  y } 
C_  F )
51, 4sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y )  -> 
( x  e.  F  /\  y  e.  F
) )
65ssopab2i 4308 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } 
C_  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  F  /\  y  e.  F ) }
7 df-xp 4711 . . . . 5  |-  ( F  X.  F )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  F  /\  y  e.  F ) }
86, 7sseqtr4i 3224 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } 
C_  ( F  X.  F )
9 xpexg 4816 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  V  /\  F  e.  V )  ->  ( F  X.  F
)  e.  _V )
109anidms 626 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  ( F  X.  F )  e. 
_V )
11 ssexg 4176 . . . 4  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) }  C_  ( F  X.  F
)  /\  ( F  X.  F )  e.  _V )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  e.  _V )
128, 10, 11sylancr 644 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  e.  _V )
13 ipostr 14272 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) Struct  <. 1 , ; 1 1 >.
14 pleid 13317 . . . 4  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
15 snsspr1 3780 . . . . 5  |-  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. } 
C_  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. }
16 ssun2 3352 . . . . 5  |-  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } )
1715, 16sstri 3201 . . . 4  |-  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. } 
C_  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  F >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } )
>. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. } )
1813, 14, 17strfv 13196 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
) }  e.  _V  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) ) )
1912, 18syl 15 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) ) )
20 ipoval.i . . . 4  |-  I  =  (toInc `  F )
21 eqid 2296 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
2220, 21ipoval 14273 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  I  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  F >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } )
>. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. } ) )
2322fveq2d 5545 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  ( le `  I )  =  ( le `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) ) )
2419, 23eqtr4d 2331 1  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   {cpr 3654   <.cop 3656   U.cuni 3843   {copab 4092    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ` cfv 5271   1c1 8754  ;cdc 10140   ndxcnx 13161   Basecbs 13164  TopSetcts 13230   lecple 13231   occoc 13232  ordTopcordt 13414  toInccipo 14270
This theorem is referenced by:  ipotset  14276  ipole  14277  thlle  16613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ocomp 13245  df-ipo 14271
  Copyright terms: Public domain W3C validator