MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipolt Unicode version

Theorem ipolt 14513
Description: Strict order condition of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipolt.i  |-  I  =  (toInc `  F )
ipolt.l  |-  .<  =  ( lt `  I )
Assertion
Ref Expression
ipolt  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<  Y  <->  X  C.  Y ) )

Proof of Theorem ipolt
StepHypRef Expression
1 ipolt.i . . . 4  |-  I  =  (toInc `  F )
2 eqid 2388 . . . 4  |-  ( le
`  I )  =  ( le `  I
)
31, 2ipole 14512 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X ( le
`  I ) Y  <-> 
X  C_  Y )
)
43anbi1d 686 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( ( X ( le `  I ) Y  /\  X  =/= 
Y )  <->  ( X  C_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
5 fvex 5683 . . . . 5  |-  (toInc `  F )  e.  _V
61, 5eqeltri 2458 . . . 4  |-  I  e. 
_V
7 ipolt.l . . . . 5  |-  .<  =  ( lt `  I )
82, 7pltval 14345 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  I
) Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
96, 8mp3an1 1266 . . 3  |-  ( ( X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  I
) Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
1093adant1 975 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X
( le `  I
) Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
11 df-pss 3280 . . 3  |-  ( X 
C.  Y  <->  ( X  C_  Y  /\  X  =/= 
Y ) )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  C.  Y  <->  ( X  C_  Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
134, 10, 123bitr4d 277 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<  Y  <->  X  C.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   _Vcvv 2900    C_ wss 3264    C. wpss 3265   class class class wbr 4154   ` cfv 5395   lecple 13464   ltcplt 14326  toInccipo 14505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ocomp 13478  df-plt 14343  df-ipo 14506
  Copyright terms: Public domain W3C validator