MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipopos Unicode version

Theorem ipopos 14312
Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipopos.i  |-  I  =  (toInc `  F )
Assertion
Ref Expression
ipopos  |-  I  e. 
Poset

Proof of Theorem ipopos
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipopos.i . . . . 5  |-  I  =  (toInc `  F )
2 fvex 5577 . . . . 5  |-  (toInc `  F )  e.  _V
31, 2eqeltri 2386 . . . 4  |-  I  e. 
_V
43a1i 10 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  I  e.  _V )
51ipobas 14307 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  F  =  ( Base `  I
) )
6 eqidd 2317 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ( le `  I )  =  ( le `  I
) )
7 ssid 3231 . . . 4  |-  a  C_  a
8 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( le
`  I )  =  ( le `  I
)
91, 8ipole 14310 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) a  <-> 
a  C_  a )
)
1093anidm23 1241 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) a  <-> 
a  C_  a )
)
117, 10mpbiri 224 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F )  ->  a ( le `  I ) a )
121, 8ipole 14310 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) b  <-> 
a  C_  b )
)
131, 8ipole 14310 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  b  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( b ( le
`  I ) a  <-> 
b  C_  a )
)
14133com23 1157 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( b ( le
`  I ) a  <-> 
b  C_  a )
)
1512, 14anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a ( le `  I ) b  /\  b ( le `  I ) a )  <->  ( a  C_  b  /\  b  C_  a ) ) )
16 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  a )  -> 
a  C_  b )
17 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  a )  -> 
b  C_  a )
1816, 17eqssd 3230 . . . 4  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  a )  -> 
a  =  b )
1915, 18syl6bi 219 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a ( le `  I ) b  /\  b ( le `  I ) a )  ->  a  =  b ) )
20 sstr 3221 . . . . 5  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  c )  -> 
a  C_  c )
2120a1i 10 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
( a  C_  b  /\  b  C_  c )  ->  a  C_  c
) )
22123adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
a ( le `  I ) b  <->  a  C_  b ) )
231, 8ipole 14310 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F )  ->  ( b ( le
`  I ) c  <-> 
b  C_  c )
)
24233adant3r1 1160 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
b ( le `  I ) c  <->  b  C_  c ) )
2522, 24anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
( a ( le
`  I ) b  /\  b ( le
`  I ) c )  <->  ( a  C_  b  /\  b  C_  c
) ) )
261, 8ipole 14310 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  c  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) c  <-> 
a  C_  c )
)
27263adant3r2 1161 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
a ( le `  I ) c  <->  a  C_  c ) )
2821, 25, 273imtr4d 259 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
( a ( le
`  I ) b  /\  b ( le
`  I ) c )  ->  a ( le `  I ) c ) )
294, 5, 6, 11, 19, 28isposd 14138 . 2  |-  ( F  e.  _V  ->  I  e.  Poset )
30 fvprc 5557 . . . 4  |-  ( -.  F  e.  _V  ->  (toInc `  F )  =  (/) )
311, 30syl5eq 2360 . . 3  |-  ( -.  F  e.  _V  ->  I  =  (/) )
32 0pos 14137 . . 3  |-  (/)  e.  Poset
3331, 32syl6eqel 2404 . 2  |-  ( -.  F  e.  _V  ->  I  e.  Poset )
3429, 33pm2.61i 156 1  |-  I  e. 
Poset
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   (/)c0 3489   class class class wbr 4060   ` cfv 5292   lecple 13262   Posetcpo 14123  toInccipo 14303
This theorem is referenced by:  isipodrs  14313  mrelatglb  14336  mrelatglb0  14337  mrelatlub  14338  mreclat  14339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ocomp 13276  df-poset 14129  df-ipo 14304
  Copyright terms: Public domain W3C validator