MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipopos Unicode version

Theorem ipopos 14263
Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipopos.i  |-  I  =  (toInc `  F )
Assertion
Ref Expression
ipopos  |-  I  e. 
Poset

Proof of Theorem ipopos
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipopos.i . . . . 5  |-  I  =  (toInc `  F )
2 fvex 5539 . . . . 5  |-  (toInc `  F )  e.  _V
31, 2eqeltri 2353 . . . 4  |-  I  e. 
_V
43a1i 10 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  I  e.  _V )
51ipobas 14258 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  F  =  ( Base `  I
) )
6 eqidd 2284 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ( le `  I )  =  ( le `  I
) )
7 ssid 3197 . . . 4  |-  a  C_  a
8 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( le
`  I )  =  ( le `  I
)
91, 8ipole 14261 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) a  <-> 
a  C_  a )
)
1093anidm23 1241 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) a  <-> 
a  C_  a )
)
117, 10mpbiri 224 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F )  ->  a ( le `  I ) a )
121, 8ipole 14261 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) b  <-> 
a  C_  b )
)
131, 8ipole 14261 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  b  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( b ( le
`  I ) a  <-> 
b  C_  a )
)
14133com23 1157 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( b ( le
`  I ) a  <-> 
b  C_  a )
)
1512, 14anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a ( le `  I ) b  /\  b ( le `  I ) a )  <->  ( a  C_  b  /\  b  C_  a ) ) )
16 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  a )  -> 
a  C_  b )
17 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  a )  -> 
b  C_  a )
1816, 17eqssd 3196 . . . 4  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  a )  -> 
a  =  b )
1915, 18syl6bi 219 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a ( le `  I ) b  /\  b ( le `  I ) a )  ->  a  =  b ) )
20 sstr 3187 . . . . 5  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  c )  -> 
a  C_  c )
2120a1i 10 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
( a  C_  b  /\  b  C_  c )  ->  a  C_  c
) )
22123adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
a ( le `  I ) b  <->  a  C_  b ) )
231, 8ipole 14261 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F )  ->  ( b ( le
`  I ) c  <-> 
b  C_  c )
)
24233adant3r1 1160 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
b ( le `  I ) c  <->  b  C_  c ) )
2522, 24anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
( a ( le
`  I ) b  /\  b ( le
`  I ) c )  <->  ( a  C_  b  /\  b  C_  c
) ) )
261, 8ipole 14261 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  c  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) c  <-> 
a  C_  c )
)
27263adant3r2 1161 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
a ( le `  I ) c  <->  a  C_  c ) )
2821, 25, 273imtr4d 259 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
( a ( le
`  I ) b  /\  b ( le
`  I ) c )  ->  a ( le `  I ) c ) )
294, 5, 6, 11, 19, 28isposd 14089 . 2  |-  ( F  e.  _V  ->  I  e.  Poset )
30 fvprc 5519 . . . 4  |-  ( -.  F  e.  _V  ->  (toInc `  F )  =  (/) )
311, 30syl5eq 2327 . . 3  |-  ( -.  F  e.  _V  ->  I  =  (/) )
32 0pos 14088 . . 3  |-  (/)  e.  Poset
3331, 32syl6eqel 2371 . 2  |-  ( -.  F  e.  _V  ->  I  e.  Poset )
3429, 33pm2.61i 156 1  |-  I  e. 
Poset
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   lecple 13215   Posetcpo 14074  toInccipo 14254
This theorem is referenced by:  isipodrs  14264  mrelatglb  14287  mrelatglb0  14288  mrelatlub  14289  mreclat  14290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ocomp 13229  df-poset 14080  df-ipo 14255
  Copyright terms: Public domain W3C validator