MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipopos Structured version   Unicode version

Theorem ipopos 14588
Description: The inclusion poset on a family of sets is actually a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipopos.i  |-  I  =  (toInc `  F )
Assertion
Ref Expression
ipopos  |-  I  e. 
Poset

Proof of Theorem ipopos
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipopos.i . . . . 5  |-  I  =  (toInc `  F )
2 fvex 5744 . . . . 5  |-  (toInc `  F )  e.  _V
31, 2eqeltri 2508 . . . 4  |-  I  e. 
_V
43a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  I  e.  _V )
51ipobas 14583 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  F  =  ( Base `  I
) )
6 eqidd 2439 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  ( le `  I )  =  ( le `  I
) )
7 ssid 3369 . . . 4  |-  a  C_  a
8 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( le
`  I )  =  ( le `  I
)
91, 8ipole 14586 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) a  <-> 
a  C_  a )
)
1093anidm23 1244 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) a  <-> 
a  C_  a )
)
117, 10mpbiri 226 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F )  ->  a ( le `  I ) a )
121, 8ipole 14586 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) b  <-> 
a  C_  b )
)
131, 8ipole 14586 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  b  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( b ( le
`  I ) a  <-> 
b  C_  a )
)
14133com23 1160 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( b ( le
`  I ) a  <-> 
b  C_  a )
)
1512, 14anbi12d 693 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a ( le `  I ) b  /\  b ( le `  I ) a )  <->  ( a  C_  b  /\  b  C_  a ) ) )
16 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  a )  -> 
a  C_  b )
17 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  a )  -> 
b  C_  a )
1816, 17eqssd 3367 . . . 4  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  a )  -> 
a  =  b )
1915, 18syl6bi 221 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a ( le `  I ) b  /\  b ( le `  I ) a )  ->  a  =  b ) )
20 sstr 3358 . . . . 5  |-  ( ( a  C_  b  /\  b  C_  c )  -> 
a  C_  c )
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
( a  C_  b  /\  b  C_  c )  ->  a  C_  c
) )
22123adant3r3 1165 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
a ( le `  I ) b  <->  a  C_  b ) )
231, 8ipole 14586 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F )  ->  ( b ( le
`  I ) c  <-> 
b  C_  c )
)
24233adant3r1 1163 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
b ( le `  I ) c  <->  b  C_  c ) )
2522, 24anbi12d 693 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
( a ( le
`  I ) b  /\  b ( le
`  I ) c )  <->  ( a  C_  b  /\  b  C_  c
) ) )
261, 8ipole 14586 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  a  e.  F  /\  c  e.  F )  ->  ( a ( le
`  I ) c  <-> 
a  C_  c )
)
27263adant3r2 1164 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
a ( le `  I ) c  <->  a  C_  c ) )
2821, 25, 273imtr4d 261 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  ( a  e.  F  /\  b  e.  F  /\  c  e.  F
) )  ->  (
( a ( le
`  I ) b  /\  b ( le
`  I ) c )  ->  a ( le `  I ) c ) )
294, 5, 6, 11, 19, 28isposd 14414 . 2  |-  ( F  e.  _V  ->  I  e.  Poset )
30 fvprc 5724 . . . 4  |-  ( -.  F  e.  _V  ->  (toInc `  F )  =  (/) )
311, 30syl5eq 2482 . . 3  |-  ( -.  F  e.  _V  ->  I  =  (/) )
32 0pos 14413 . . 3  |-  (/)  e.  Poset
3331, 32syl6eqel 2526 . 2  |-  ( -.  F  e.  _V  ->  I  e.  Poset )
3429, 33pm2.61i 159 1  |-  I  e. 
Poset
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   lecple 13538   Posetcpo 14399  toInccipo 14579
This theorem is referenced by:  isipodrs  14589  mrelatglb  14612  mrelatglb0  14613  mrelatlub  14614  mreclat  14615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ocomp 13552  df-poset 14405  df-ipo 14580
  Copyright terms: Public domain W3C validator