MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iporthcom Structured version   Unicode version

Theorem iporthcom 16868
Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ip0l.z  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
Assertion
Ref Expression
iporthcom  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  Z  <->  ( B  .,  A )  =  Z ) )

Proof of Theorem iporthcom
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
21phlsrng 16864 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
323ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  F  e.  *Ring )
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( * r f `  F
)  =  ( * r f `  F
)
5 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
64, 5srngf1o 15944 . . . 4  |-  ( F  e.  *Ring  ->  ( * r f `  F ) : ( Base `  F
)
-1-1-onto-> ( Base `  F )
)
7 f1of1 5675 . . . 4  |-  ( ( * r f `  F ) : (
Base `  F ) -1-1-onto-> ( Base `  F )  -> 
( * r f `
 F ) : ( Base `  F
) -1-1-> ( Base `  F
) )
83, 6, 73syl 19 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
* r f `  F ) : (
Base `  F ) -1-1-> ( Base `  F
) )
9 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
10 phllmhm.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
111, 9, 10, 5ipcl 16866 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  ( Base `  F
) )
12 phllmod 16863 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
13123ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
14 ip0l.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
151, 5, 14lmod0cl 15978 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  Z  e.  ( Base `  F
) )
1613, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  Z  e.  ( Base `  F
) )
17 f1fveq 6010 . . 3  |-  ( ( ( * r f `
 F ) : ( Base `  F
) -1-1-> ( Base `  F
)  /\  ( ( A  .,  B )  e.  ( Base `  F
)  /\  Z  e.  ( Base `  F )
) )  ->  (
( ( * r f `  F ) `
 ( A  .,  B ) )  =  ( ( * r f `  F ) `
 Z )  <->  ( A  .,  B )  =  Z ) )
188, 11, 16, 17syl12anc 1183 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( * r f `  F ) `
 ( A  .,  B ) )  =  ( ( * r f `  F ) `
 Z )  <->  ( A  .,  B )  =  Z ) )
19 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( * r `  F )  =  ( * r `
 F )
205, 19, 4stafval 15938 . . . . 5  |-  ( ( A  .,  B )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( (
* r f `  F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( ( * r `  F ) `
 ( A  .,  B ) ) )
2111, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( * r f `
 F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( ( * r `  F
) `  ( A  .,  B ) ) )
221, 9, 10, 19ipcj 16867 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( B  .,  A ) )
2321, 22eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( * r f `
 F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( B 
.,  A ) )
245, 19, 4stafval 15938 . . . . 5  |-  ( Z  e.  ( Base `  F
)  ->  ( (
* r f `  F ) `  Z
)  =  ( ( * r `  F
) `  Z )
)
2516, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( * r f `
 F ) `  Z )  =  ( ( * r `  F ) `  Z
) )
2619, 14srng0 15950 . . . . 5  |-  ( F  e.  *Ring  ->  ( (
* r `  F
) `  Z )  =  Z )
273, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( * r `  F ) `  Z
)  =  Z )
2825, 27eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( * r f `
 F ) `  Z )  =  Z )
2923, 28eqeq12d 2452 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( * r f `  F ) `
 ( A  .,  B ) )  =  ( ( * r f `  F ) `
 Z )  <->  ( B  .,  A )  =  Z ) )
3018, 29bitr3d 248 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  Z  <->  ( B  .,  A )  =  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   -1-1->wf1 5453   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   * rcstv 13533  Scalarcsca 13534   .icip 13536   0gc0g 13725   * r fcstf 15933   *Ringcsr 15934   LModclmod 15952   PreHilcphl 16857
This theorem is referenced by:  ocvocv  16900  lsmcss  16921  cphorthcom  19165
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-grp 14814  df-ghm 15006  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-rnghom 15821  df-staf 15935  df-srng 15936  df-lmod 15954  df-lmhm 16100  df-lvec 16177  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-phl 16859
  Copyright terms: Public domain W3C validator