Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipoval Unicode version

Theorem ipoval 14257
 Description: Value of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipoval.i toInc
ipoval.l
Assertion
Ref Expression
ipoval TopSet ordTop
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem ipoval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2
2 ipoval.i . . 3 toInc
3 vex 2791 . . . . . . . 8
43, 3xpex 4801 . . . . . . 7
5 simpl 443 . . . . . . . . . 10
6 vex 2791 . . . . . . . . . . 11
7 vex 2791 . . . . . . . . . . 11
86, 7prss 3769 . . . . . . . . . 10
95, 8sylibr 203 . . . . . . . . 9
109ssopab2i 4292 . . . . . . . 8
11 df-xp 4695 . . . . . . . 8
1210, 11sseqtr4i 3211 . . . . . . 7
134, 12ssexi 4159 . . . . . 6
1413a1i 10 . . . . 5
15 sseq2 3200 . . . . . . . . . . 11
1615anbi1d 685 . . . . . . . . . 10
1716opabbidv 4082 . . . . . . . . 9
18 ipoval.l . . . . . . . . 9
1917, 18syl6eqr 2333 . . . . . . . 8
2019eqeq2d 2294 . . . . . . 7
2120biimpa 470 . . . . . 6
22 simpl 443 . . . . . . . . 9
2322opeq2d 3803 . . . . . . . 8
24 simpr 447 . . . . . . . . . 10
2524fveq2d 5529 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop
2625opeq2d 3803 . . . . . . . 8 TopSet ordTop TopSet ordTop
2723, 26preq12d 3714 . . . . . . 7 TopSet ordTop TopSet ordTop
2824opeq2d 3803 . . . . . . . 8
29 id 19 . . . . . . . . . . 11
30 rabeq 2782 . . . . . . . . . . . 12
3130unieqd 3838 . . . . . . . . . . 11
3229, 31mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . 10
3332adantr 451 . . . . . . . . 9
3433opeq2d 3803 . . . . . . . 8
3528, 34preq12d 3714 . . . . . . 7
3627, 35uneq12d 3330 . . . . . 6 TopSet ordTop TopSet ordTop
3721, 36syldan 456 . . . . 5 TopSet ordTop TopSet ordTop
3814, 37csbied 3123 . . . 4 TopSet ordTop TopSet ordTop
39 df-ipo 14255 . . . 4 toInc TopSet ordTop
40 prex 4217 . . . . 5 TopSet ordTop
41 prex 4217 . . . . 5
4240, 41unex 4518 . . . 4 TopSet ordTop
4338, 39, 42fvmpt 5602 . . 3 toInc TopSet ordTop
442, 43syl5eq 2327 . 2 TopSet ordTop
451, 44syl 15 1 TopSet ordTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  crab 2547  cvv 2788  csb 3081   cun 3150   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cpr 3641  cop 3643  cuni 3827  copab 4076   cmpt 4077   cxp 4687  cfv 5255  cnx 13145  cbs 13148  TopSetcts 13214  cple 13215  coc 13216  ordTopcordt 13398  toInccipo 14254 This theorem is referenced by:  ipobas  14258  ipolerval  14259  ipotset  14260 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ipo 14255
 Copyright terms: Public domain W3C validator