Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipoval Structured version   Unicode version

Theorem ipoval 14582
 Description: Value of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipoval.i toInc
ipoval.l
Assertion
Ref Expression
ipoval TopSet ordTop
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem ipoval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2966 . 2
2 ipoval.i . . 3 toInc
3 vex 2961 . . . . . . . 8
43, 3xpex 4992 . . . . . . 7
5 simpl 445 . . . . . . . . . 10
6 vex 2961 . . . . . . . . . . 11
7 vex 2961 . . . . . . . . . . 11
86, 7prss 3954 . . . . . . . . . 10
95, 8sylibr 205 . . . . . . . . 9
109ssopab2i 4484 . . . . . . . 8
11 df-xp 4886 . . . . . . . 8
1210, 11sseqtr4i 3383 . . . . . . 7
134, 12ssexi 4350 . . . . . 6
1413a1i 11 . . . . 5
15 sseq2 3372 . . . . . . . 8
1615anbi1d 687 . . . . . . 7
1716opabbidv 4273 . . . . . 6
18 ipoval.l . . . . . 6
1917, 18syl6eqr 2488 . . . . 5
20 simpl 445 . . . . . . . 8
2120opeq2d 3993 . . . . . . 7
22 simpr 449 . . . . . . . . 9
2322fveq2d 5734 . . . . . . . 8 ordTop ordTop
2423opeq2d 3993 . . . . . . 7 TopSet ordTop TopSet ordTop
2521, 24preq12d 3893 . . . . . 6 TopSet ordTop TopSet ordTop
2622opeq2d 3993 . . . . . . 7
27 id 21 . . . . . . . . . 10
28 rabeq 2952 . . . . . . . . . . 11
2928unieqd 4028 . . . . . . . . . 10
3027, 29mpteq12dv 4289 . . . . . . . . 9
3130adantr 453 . . . . . . . 8
3231opeq2d 3993 . . . . . . 7
3326, 32preq12d 3893 . . . . . 6
3425, 33uneq12d 3504 . . . . 5 TopSet ordTop TopSet ordTop
3514, 19, 34csbied2 3296 . . . 4 TopSet ordTop TopSet ordTop
36 df-ipo 14580 . . . 4 toInc TopSet ordTop
37 prex 4408 . . . . 5 TopSet ordTop
38 prex 4408 . . . . 5
3937, 38unex 4709 . . . 4 TopSet ordTop
4035, 36, 39fvmpt 5808 . . 3 toInc TopSet ordTop
412, 40syl5eq 2482 . 2 TopSet ordTop
421, 41syl 16 1 TopSet ordTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  crab 2711  cvv 2958  csb 3253   cun 3320   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cpr 3817  cop 3819  cuni 4017  copab 4267   cmpt 4268   cxp 4878  cfv 5456  cnx 13468  cbs 13471  TopSetcts 13537  cple 13538  coc 13539  ordTopcordt 13723  toInccipo 14579 This theorem is referenced by:  ipobas  14583  ipolerval  14584  ipotset  14585 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ipo 14580
 Copyright terms: Public domain W3C validator