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Theorem ipval2 21280
Description: Expansion of the inner product value ipval 21276. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dipfval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
dipfval.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
dipfval.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
dipfval.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
ipval2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )

Proof of Theorem ipval2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 dipfval.2 . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 dipfval.4 . . 3  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
4 dipfval.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 dipfval.7 . . 3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
61, 2, 3, 4, 5ipval 21276 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
7 ax-icn 8796 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
81, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 21279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
97, 8mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
10 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
12 neg1cn 9813 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 21279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1412, 13mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1511, 14subcld 9157 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
167negcli 9114 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 21279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1816, 17mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
207, 18, 19sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
2115, 20negsubd 9163 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
2214mulm1d 9231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
2322oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2411, 14negsubd 9163 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2523, 24eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
26 mulneg1 9216 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( -u _i  x.  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
277, 18, 26sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2825, 27oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
29 subdi 9213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
307, 29mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
319, 18, 30syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3231oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
3311, 20, 14sub32d 9189 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3432, 33eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3521, 28, 343eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
361, 3nvsid 21185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
1 S B )  =  B )
3736oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 1 S B ) )  =  ( A G B ) )
3837fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( A G B ) ) )
3938oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
40393adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
4140oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) ) )
421, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 21278 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4342recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
4443mulid2d 8853 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )
4541, 44eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )
4635, 45oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) ) )
47 nnuz 10263 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
48 df-4 9806 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
49 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  4  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
4 ) )
50 i4 11205 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 4 )  =  1
5149, 50syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( k  =  4  ->  (
_i ^ k )  =  1 )
5251oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  4  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( 1 S B ) )
5352oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  4  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G ( 1 S B ) ) )
5453fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  4  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) )
5554oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( k  =  4  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
5651, 55oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( k  =  4  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
57 nnnn0 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
58 expcl 11121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
597, 57, 58sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
6059adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( _i ^
k )  e.  CC )
611, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 21279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( _i ^ k
)  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( ( _i ^
k ) S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
6259, 61sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( N `
 ( A G ( ( _i ^
k ) S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
6360, 62mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
64 df-3 9805 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
65 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
3 ) )
66 i3 11204 . . . . . . . . 9  |-  ( _i
^ 3 )  = 
-u _i
6765, 66syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  -u _i )
6867oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( -u _i S B ) )
6968oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  3  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G (
-u _i S B ) ) )
7069fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) )
7170oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
7267, 71oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
73 df-2 9804 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
74 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
2 ) )
75 i2 11203 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
7674, 75syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  -u 1 )
7776oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( -u 1 S B ) )
7877oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G (
-u 1 S B ) ) )
7978fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) )
8079oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
8176, 80oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
82 1z 10053 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
83 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
1 ) )
84 exp1 11109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 1 )  =  _i )
857, 84ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i
^ 1 )  =  _i
8683, 85syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  _i )
8786oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( _i S B ) )
8887oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G ( _i S B ) ) )
8988fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) )
9089oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
9186, 90oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9291fsum1 12214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9382, 11, 92sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 1
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) ) )
94 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
9593, 94jctil 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
96 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
9747, 73, 81, 63, 95, 96fsump1i 12232 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
2  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
98 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
9947, 64, 72, 63, 97, 98fsump1i 12232 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
3  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
100 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10147, 48, 56, 63, 99, 100fsump1i 12232 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
4  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
102101simprd 449 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10343, 14subcld 9157 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
1049, 18subcld 9157 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
105 mulcl 8821 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
1067, 104, 105sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
107103, 106addcomd 9014 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
108106, 14, 43subadd23d 9179 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
109107, 108eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) ) )
11046, 102, 1093eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
111110oveq1d 5873 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
1126, 111eqtrd 2315 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782   ^cexp 11104   sum_csu 12158   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s OLDcns 21143   normCVcnmcv 21146   .i OLDcdip 21273
This theorem is referenced by:  4ipval2  21281  ipval3  21282  ipidsq  21286  dipcj  21290  dip0r  21293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-dip 21274
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