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Theorem ipval2 21296
Description: Expansion of the inner product value ipval 21292. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dipfval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
dipfval.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
dipfval.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
dipfval.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
ipval2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )

Proof of Theorem ipval2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 dipfval.2 . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 dipfval.4 . . 3  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
4 dipfval.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 dipfval.7 . . 3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
61, 2, 3, 4, 5ipval 21292 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
7 ax-icn 8812 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
81, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 21295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
97, 8mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
10 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
12 neg1cn 9829 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 21295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1412, 13mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1511, 14subcld 9173 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
167negcli 9130 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 21295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1816, 17mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19 mulcl 8837 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
207, 18, 19sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
2115, 20negsubd 9179 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
2214mulm1d 9247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
2322oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2411, 14negsubd 9179 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2523, 24eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
26 mulneg1 9232 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( -u _i  x.  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
277, 18, 26sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2825, 27oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
29 subdi 9229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
307, 29mp3an1 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
319, 18, 30syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3231oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
3311, 20, 14sub32d 9205 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3432, 33eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3521, 28, 343eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
361, 3nvsid 21201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
1 S B )  =  B )
3736oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 1 S B ) )  =  ( A G B ) )
3837fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( A G B ) ) )
3938oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
40393adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
4140oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) ) )
421, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 21294 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4342recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
4443mulid2d 8869 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )
4541, 44eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )
4635, 45oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) ) )
47 nnuz 10279 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
48 df-4 9822 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
49 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  4  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
4 ) )
50 i4 11221 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 4 )  =  1
5149, 50syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( k  =  4  ->  (
_i ^ k )  =  1 )
5251oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  4  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( 1 S B ) )
5352oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  4  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G ( 1 S B ) ) )
5453fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  4  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) )
5554oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( k  =  4  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
5651, 55oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( k  =  4  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
57 nnnn0 9988 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
58 expcl 11137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
597, 57, 58sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
6059adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( _i ^
k )  e.  CC )
611, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 21295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( _i ^ k
)  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( ( _i ^
k ) S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
6259, 61sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( N `
 ( A G ( ( _i ^
k ) S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
6360, 62mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
64 df-3 9821 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
65 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
3 ) )
66 i3 11220 . . . . . . . . 9  |-  ( _i
^ 3 )  = 
-u _i
6765, 66syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  -u _i )
6867oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( -u _i S B ) )
6968oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  3  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G (
-u _i S B ) ) )
7069fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) )
7170oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
7267, 71oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
73 df-2 9820 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
74 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
2 ) )
75 i2 11219 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
7674, 75syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  -u 1 )
7776oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( -u 1 S B ) )
7877oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G (
-u 1 S B ) ) )
7978fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) )
8079oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
8176, 80oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
82 1z 10069 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
83 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
1 ) )
84 exp1 11125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 1 )  =  _i )
857, 84ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i
^ 1 )  =  _i
8683, 85syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  _i )
8786oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( _i S B ) )
8887oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G ( _i S B ) ) )
8988fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) )
9089oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
9186, 90oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9291fsum1 12230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9382, 11, 92sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 1
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) ) )
94 1nn 9773 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
9593, 94jctil 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
96 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
9747, 73, 81, 63, 95, 96fsump1i 12248 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
2  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
98 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
9947, 64, 72, 63, 97, 98fsump1i 12248 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
3  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
100 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10147, 48, 56, 63, 99, 100fsump1i 12248 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
4  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
102101simprd 449 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10343, 14subcld 9173 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
1049, 18subcld 9173 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
105 mulcl 8837 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
1067, 104, 105sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
107103, 106addcomd 9030 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
108106, 14, 43subadd23d 9195 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
109107, 108eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) ) )
11046, 102, 1093eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
111110oveq1d 5889 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
1126, 111eqtrd 2328 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798   ^cexp 11120   sum_csu 12174   NrmCVeccnv 21156   +vcpv 21157   BaseSetcba 21158   .s OLDcns 21159   normCVcnmcv 21162   .i OLDcdip 21289
This theorem is referenced by:  4ipval2  21297  ipval3  21298  ipidsq  21302  dipcj  21306  dip0r  21309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-grpo 20874  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172  df-dip 21290
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