Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval2 Structured version   Unicode version

Theorem ipval2 22205
 Description: Expansion of the inner product value ipval 22201. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1
dipfval.2
dipfval.4
dipfval.6 CV
dipfval.7
Assertion
Ref Expression
ipval2

Proof of Theorem ipval2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3
2 dipfval.2 . . 3
3 dipfval.4 . . 3
4 dipfval.6 . . 3 CV
5 dipfval.7 . . 3
61, 2, 3, 4, 5ipval 22201 . 2
7 ax-icn 9051 . . . . . . . . 9
81, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 22204 . . . . . . . . . 10
97, 8mpan2 654 . . . . . . . . 9
10 mulcl 9076 . . . . . . . . 9
117, 9, 10sylancr 646 . . . . . . . 8
12 neg1cn 10069 . . . . . . . . 9
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 22204 . . . . . . . . 9
1412, 13mpan2 654 . . . . . . . 8
1511, 14subcld 9413 . . . . . . 7
167negcli 9370 . . . . . . . . 9
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 22204 . . . . . . . . 9
1816, 17mpan2 654 . . . . . . . 8
19 mulcl 9076 . . . . . . . 8
207, 18, 19sylancr 646 . . . . . . 7
2115, 20negsubd 9419 . . . . . 6
2214mulm1d 9487 . . . . . . . . 9
2322oveq2d 6099 . . . . . . . 8
2411, 14negsubd 9419 . . . . . . . 8
2523, 24eqtrd 2470 . . . . . . 7
26 mulneg1 9472 . . . . . . . 8
277, 18, 26sylancr 646 . . . . . . 7
2825, 27oveq12d 6101 . . . . . 6
29 subdi 9469 . . . . . . . . . 10
307, 29mp3an1 1267 . . . . . . . . 9
319, 18, 30syl2anc 644 . . . . . . . 8
3231oveq1d 6098 . . . . . . 7
3311, 20, 14sub32d 9445 . . . . . . 7
3432, 33eqtrd 2470 . . . . . 6
3521, 28, 343eqtr4d 2480 . . . . 5
361, 3nvsid 22110 . . . . . . . . . . 11
3736oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10
3837fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
3938oveq1d 6098 . . . . . . . 8
40393adant2 977 . . . . . . 7
4140oveq2d 6099 . . . . . 6
421, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 22203 . . . . . . . 8
4342recnd 9116 . . . . . . 7
4443mulid2d 9108 . . . . . 6
4541, 44eqtrd 2470 . . . . 5
4635, 45oveq12d 6101 . . . 4
47 nnuz 10523 . . . . . 6
48 df-4 10062 . . . . . 6
49 oveq2 6091 . . . . . . . 8
50 i4 11485 . . . . . . . 8
5149, 50syl6eq 2486 . . . . . . 7
5251oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10
5352oveq2d 6099 . . . . . . . . 9
5453fveq2d 5734 . . . . . . . 8
5554oveq1d 6098 . . . . . . 7
5651, 55oveq12d 6101 . . . . . 6
57 nnnn0 10230 . . . . . . . . 9
58 expcl 11401 . . . . . . . . 9
597, 57, 58sylancr 646 . . . . . . . 8
6059adantl 454 . . . . . . 7
611, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 22204 . . . . . . . 8
6259, 61sylan2 462 . . . . . . 7
6360, 62mulcld 9110 . . . . . 6
64 df-3 10061 . . . . . . 7
65 oveq2 6091 . . . . . . . . 9
66 i3 11484 . . . . . . . . 9
6765, 66syl6eq 2486 . . . . . . . 8
6867oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11
6968oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10
7069fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
7170oveq1d 6098 . . . . . . . 8
7267, 71oveq12d 6101 . . . . . . 7
73 df-2 10060 . . . . . . . 8
74 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10
75 i2 11483 . . . . . . . . . 10
7674, 75syl6eq 2486 . . . . . . . . 9
7776oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12
7877oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11
7978fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10
8079oveq1d 6098 . . . . . . . . 9
8176, 80oveq12d 6101 . . . . . . . 8
82 1z 10313 . . . . . . . . . 10
83 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . 13
84 exp1 11389 . . . . . . . . . . . . . 14
857, 84ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
8683, 85syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12
8786oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14
8988fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13
9089oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12
9186, 90oveq12d 6101 . . . . . . . . . . 11
9291fsum1 12537 . . . . . . . . . 10
9382, 11, 92sylancr 646 . . . . . . . . 9
94 1nn 10013 . . . . . . . . 9
9593, 94jctil 525 . . . . . . . 8
96 eqidd 2439 . . . . . . . 8
9747, 73, 81, 63, 95, 96fsump1i 12555 . . . . . . 7
98 eqidd 2439 . . . . . . 7
9947, 64, 72, 63, 97, 98fsump1i 12555 . . . . . 6
100 eqidd 2439 . . . . . 6
10147, 48, 56, 63, 99, 100fsump1i 12555 . . . . 5
102101simprd 451 . . . 4
10343, 14subcld 9413 . . . . . 6
1049, 18subcld 9413 . . . . . . 7
105 mulcl 9076 . . . . . . 7
1067, 104, 105sylancr 646 . . . . . 6
107103, 106addcomd 9270 . . . . 5
108106, 14, 43subadd23d 9435 . . . . 5
109107, 108eqtr4d 2473 . . . 4
11046, 102, 1093eqtr4d 2480 . . 3
111110oveq1d 6098 . 2
1126, 111eqtrd 2470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  c1 8993  ci 8994   caddc 8995   cmul 8997   cmin 9293  cneg 9294   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  c3 10052  c4 10053  cn0 10223  cz 10284  cfz 11045  cexp 11384  csu 12481  cnv 22065  cpv 22066  cba 22067  cns 22068  CVcnmcv 22071  cdip 22198 This theorem is referenced by:  4ipval2  22206  ipval3  22207  ipidsq  22211  dipcj  22215  dip0r  22218 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-grpo 21781  df-ablo 21872  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-nmcv 22081  df-dip 22199
 Copyright terms: Public domain W3C validator