MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval2lem3 Unicode version

Theorem ipval2lem3 22050
Description: Lemma for ipval3 22054. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dipfval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
dipfval.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
dipfval.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
dipfval.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
ipval2lem3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  RR )

Proof of Theorem ipval2lem3
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 dipfval.4 . . . . . . 7  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
31, 2nvsid 21957 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
1 S B )  =  B )
43oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 1 S B ) )  =  ( A G B ) )
54fveq2d 5673 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( A G B ) ) )
65oveq1d 6036 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
763adant2 976 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
8 ax-1cn 8982 . . 3  |-  1  e.  CC
9 dipfval.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
10 dipfval.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
11 dipfval.7 . . . 4  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
121, 9, 2, 10, 11ipval2lem2 22049 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 )  e.  RR )
138, 12mpan2 653 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
147, 13eqeltrrd 2463 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   1c1 8925   2c2 9982   ^cexp 11310   NrmCVeccnv 21912   +vcpv 21913   BaseSetcba 21914   .s
OLDcns 21915   normCVcnmcv 21918   .i OLDcdip 22045
This theorem is referenced by:  ipval2  22052  4ipval3  22057  dipcj  22062  dip0r  22065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-seq 11252  df-exp 11311  df-grpo 21628  df-ablo 21719  df-vc 21874  df-nv 21920  df-va 21923  df-ba 21924  df-sm 21925  df-0v 21926  df-nmcv 21928
  Copyright terms: Public domain W3C validator