MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irradd Structured version   Unicode version

Theorem irradd 10600
Description: The sum of an irrational number and a rational number is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
irradd  |-  ( ( A  e.  ( RR 
\  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ( RR 
\  QQ ) )

Proof of Theorem irradd
StepHypRef Expression
1 eldif 3332 . . 3  |-  ( A  e.  ( RR  \  QQ )  <->  ( A  e.  RR  /\  -.  A  e.  QQ ) )
2 qre 10581 . . . . . 6  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
3 readdcl 9075 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
42, 3sylan2 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
54adantlr 697 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
-.  A  e.  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
6 qsubcl 10595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  e.  QQ )
76expcom 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  QQ  ->  (
( A  +  B
)  e.  QQ  ->  ( ( A  +  B
)  -  B )  e.  QQ ) )
87adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  e.  QQ  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  e.  QQ ) )
9 recn 9082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
10 qcn 10590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
11 pncan 9313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
129, 10, 11syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  -  B
)  =  A )
1312eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( ( A  +  B )  -  B )  e.  QQ  <->  A  e.  QQ ) )
148, 13sylibd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  e.  QQ  ->  A  e.  QQ ) )
1514con3d 128 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  QQ )  ->  ( -.  A  e.  QQ  ->  -.  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
1615ex 425 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  QQ  ->  ( -.  A  e.  QQ  ->  -.  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) )
1716com23 75 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  e.  QQ  ->  ( B  e.  QQ  ->  -.  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) )
1817imp31 423 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
-.  A  e.  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  -.  ( A  +  B )  e.  QQ )
195, 18jca 520 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
-.  A  e.  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  -.  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
201, 19sylanb 460 . 2  |-  ( ( A  e.  ( RR 
\  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\ 
-.  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
21 eldif 3332 . 2  |-  ( ( A  +  B )  e.  ( RR  \  QQ )  <->  ( ( A  +  B )  e.  RR  /\  -.  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
2220, 21sylibr 205 1  |-  ( ( A  e.  ( RR 
\  QQ )  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ( RR 
\  QQ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991    + caddc 8995    - cmin 9293   QQcq 10576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-q 10577
  Copyright terms: Public domain W3C validator