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Theorem irrapxlem2 26056
Description: Lemma for irrapx1 26061. Two multiples in the same bucket means they are very close mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  <  (
1  /  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem irrapxlem2
StepHypRef Expression
1 irrapxlem1 26055 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
2 nnre 9798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
32adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
43ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  e.  RR )
5 rpre 10407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
65ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  A  e.  RR )
7 elfzelz 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  ->  x  e.  ZZ )
87zred 10164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  ->  x  e.  RR )
98ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  x  e.  RR )
106, 9remulcld 8908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( A  x.  x )  e.  RR )
11 1rp 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR+
1211a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  1  e.  RR+ )
1310, 12modcld 11024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  x
)  mod  1 )  e.  RR )
144, 13remulcld 8908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  e.  RR )
15 intfrac 11033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  e.  RR  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
17 elfzelz 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  ->  y  e.  ZZ )
1817zred 10164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  ->  y  e.  RR )
1918adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  y  e.  RR )
206, 19remulcld 8908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( A  x.  y )  e.  RR )
2120, 12modcld 11024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  y
)  mod  1 )  e.  RR )
224, 21remulcld 8908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR )
23 intfrac 11033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
2516, 24oveq12d 5918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
2625fveq2d 5567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
2726adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )
2928oveq1d 5915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
3029oveq1d 5915 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
3130fveq2d 5567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
3222flcld 10977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  ZZ )
3332zcnd 10165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  CC )
3414, 12modcld 11024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  RR )
3534recnd 8906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  CC )
3622, 12modcld 11024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  RR )
3736recnd 8906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  CC )
3833, 35, 37pnpcand 9239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )
3938fveq2d 5567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
)  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
40 0re 8883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
4140a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  e.  RR )
42 1re 8882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  1  e.  RR )
44 modelico 26054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
)  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4514, 11, 44sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
46 modelico 26054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
)  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4722, 11, 46sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
48 icodiamlt 26053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1
)  /\  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  < 
( 1  -  0 ) )
4941, 43, 45, 47, 48syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  < 
( 1  -  0 ) )
50 ax-1cn 8840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
5150subid1i 9163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  -  0 )  =  1
5249, 51syl6breq 4099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  <  1 )
5339, 52eqbrtrd 4080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5453adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5531, 54eqbrtrd 4080 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5627, 55eqbrtrd 4080 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5756ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
5813, 21resubcld 9256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR )
5958recnd 8906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  CC )
6059abscld 11965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  RR )
61 nngt0 9820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
6261adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
6362ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  <  B )
6463gt0ne0d 9382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  =/=  0 )
654, 64rereccld 9632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
1  /  B )  e.  RR )
66 ltmul2 9652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  B
)  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  < 
( 1  /  B
)  <->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B ) ) ) )
6760, 65, 4, 63, 66syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B )  <->  ( B  x.  ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B ) ) ) )
68 nnnn0 10019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
6968nn0ge0d 10068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <_  B )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  B )
7170ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  <_  B )
724, 71absidd 11952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  B )  =  B )
7372eqcomd 2321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  =  ( abs `  B
) )
7473oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) ) )
754recnd 8906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  e.  CC )
7675, 59absmuld 11983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( B  x.  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) ) )
7713recnd 8906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  x
)  mod  1 )  e.  CC )
7821recnd 8906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  y
)  mod  1 )  e.  CC )
7975, 77, 78subdid 9280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( (
( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  =  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )
8079fveq2d 5567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( B  x.  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
8174, 76, 803eqtr2d 2354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
8275, 64recidd 9576 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( 1  /  B ) )  =  1 )
8381, 82breq12d 4073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B
) )  <->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
8467, 83bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B )  <->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
8557, 84sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  < 
( 1  /  B
) ) )
8685anim2d 548 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  -> 
( x  <  y  /\  ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
8786reximdva 2689 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  ->  ( E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  (
0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
8887reximdva 2689 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  (
0 ... B ) E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  ->  E. x  e.  (
0 ... B ) E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
891, 88mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  <  (
1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   E.wrex 2578   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082    / cdiv 9468   NNcn 9791   RR+crp 10401   [,)cico 10705   ...cfz 10829   |_cfl 10971    mod cmo 11020   abscabs 11766
This theorem is referenced by:  irrapxlem3  26057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-ico 10709  df-fz 10830  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768
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