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Theorem irrapxlem4 27013
Description: Lemma for irrapx1 27016. Eliminate ranges, use positivity of the input to force positivity of the output by increasing  B as needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem irrapxlem4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR+ )
21rpreccld 10416 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
1  /  A )  e.  RR+ )
32rprege0d 10413 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
( 1  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) ) )
4 flge0nn0 10964 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  A ) )  e.  NN0 )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e. 
NN0 )
6 nn0p1nn 10019 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
8 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
9 ifcl 3614 . . . 4  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
107, 8, 9syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
11 irrapxlem3 27012 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )  ->  E. a  e.  (
1 ... if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) ) )
121, 10, 11syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e. 
NN0  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )
13 simpllr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )
14 elfznn 10835 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ...
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  -> 
a  e.  NN )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  NN )
16 nn0z 10062 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
1716ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
181ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
1918rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  RR )
2015nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  RR )
2119, 20remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  a )  e.  RR )
22 nn0re 9990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
2322ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  RR )
2421, 23resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  e.  RR )
2524recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  e.  CC )
2625abscld 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  e.  RR )
277ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
288ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  e.  NN )
2927, 28, 9syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
3029nnrecred 9807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  e.  RR )
31 0re 8854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
3231a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  e.  RR )
3321, 32resubcld 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  0 )  e.  RR )
34 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )
3527nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  e.  RR )
3628nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  e.  RR )
3718rprecred 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
3837flcld 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  ZZ )
3938zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
40 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR )
42 max2 10532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) )
4336, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
4427nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )
4529nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR )
4629nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
47 lerec 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  /\  ( if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR  /\  0  < 
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  <->  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) )  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) ) )
4841, 44, 45, 46, 47syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ) ) )
4943, 48mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ) )
50 fllep1 10949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR  ->  (
1  /  A )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5137, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5227nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  CC )
5327nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  =/=  0 )
5452, 53recrecd 9549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5551, 54breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  <_  ( 1  / 
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) ) )
5641, 44recgt0d 9707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  ( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) )
5718rpgt0d 10409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  A )
58 lerec 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) ) ) )
5935, 56, 19, 57, 58syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) )  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_ 
( 1  /  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) ) ) )
6055, 59mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  <_  A )
6130, 35, 19, 49, 60letrd 8989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  A )
6219recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  CC )
6362mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
6415nnge1d 9804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  1  <_  a )
65 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
6665a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  1  e.  RR )
6766, 20, 18lemul2d 10446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  <_  a  <->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  a )
) )
6864, 67mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  a ) )
6963, 68eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  <_  ( A  x.  a
) )
7021recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  a )  e.  CC )
7170subid1d 9162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  0 )  =  ( A  x.  a ) )
7269, 71breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  <_  ( ( A  x.  a )  -  0 ) )
7330, 19, 33, 61, 72letrd 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) )
7426, 30, 33, 34, 73ltletrd 8992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( ( A  x.  a )  -  0 ) )
7524, 33absltd 11928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( ( A  x.  a )  -  0 )  <->  ( -u (
( A  x.  a
)  -  0 )  <  ( ( A  x.  a )  -  b )  /\  (
( A  x.  a
)  -  b )  <  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) ) ) )
7674, 75mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( -u ( ( A  x.  a )  -  0 )  <  ( ( A  x.  a )  -  b )  /\  ( ( A  x.  a )  -  b
)  <  ( ( A  x.  a )  -  0 ) ) )
7776simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  <  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) )
7832, 23, 21ltsub2d 9398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
0  <  b  <->  ( ( A  x.  a )  -  b )  < 
( ( A  x.  a )  -  0 ) ) )
7977, 78mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  b )
80 elnnz 10050 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  0  < 
b ) )
8117, 79, 80sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  NN )
82 ifcl 3614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  if ( a  <_  B ,  B , 
a )  e.  NN )
8328, 15, 82syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  NN )
8483nnrecred 9807 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a )
)  e.  RR )
85 elfzle2 10816 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 1 ...
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  -> 
a  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
8613, 85syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
87 max1 10530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) )
8836, 41, 87syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
89 maxle 10535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR )  -> 
( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  <->  ( a  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  /\  B  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) ) ) )
9020, 36, 45, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( a  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  /\  B  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) ) )
9186, 88, 90mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
92 ifcl 3614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_  B ,  B , 
a )  e.  RR )
9336, 20, 92syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  RR )
9428nngt0d 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  B )
95 max2 10532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  if (
a  <_  B ,  B ,  a )
)
9620, 36, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  <_  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
9732, 36, 93, 94, 96ltletrd 8992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
98 lerec 9654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  RR  /\  0  < 
if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )  /\  ( if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR  /\  0  <  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
9993, 97, 45, 46, 98syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
10091, 99mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
10126, 30, 84, 34, 100ltletrd 8992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
102 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  a ) )
103102oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
( A  x.  x
)  -  y )  =  ( ( A  x.  a )  -  y ) )
104103fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  y ) ) )
105 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
x  <_  B  <->  a  <_  B ) )
106 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
107105, 106ifbieq2d 3598 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  if ( x  <_  B ,  B ,  x )  =  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
108107oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
)  =  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
109104, 108breq12d 4052 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) )  <->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  y
) )  <  (
1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a )
) ) )
110 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
( A  x.  a
)  -  y )  =  ( ( A  x.  a )  -  b ) )
111110fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) ) )
112111breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) )  <-> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
113109, 112rspc2ev 2905 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
11415, 81, 101, 113syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
115114ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e. 
NN0 )  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  < 
( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
) ) )
116115rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b
) )  <  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  < 
( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
) ) )
117116rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  (
1 ... if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) ) )
11812, 117mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   RR+crp 10370   ...cfz 10798   |_cfl 10940   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  irrapxlem5  27014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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