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Theorem irrapxlem4 26890
Description: Lemma for irrapx1 26893. Eliminate ranges, use positivity of the input to force positivity of the output by increasing  B as needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem irrapxlem4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR+ )
21rpreccld 10660 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
1  /  A )  e.  RR+ )
32rprege0d 10657 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
( 1  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) ) )
4 flge0nn0 11227 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  A ) )  e.  NN0 )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e. 
NN0 )
6 nn0p1nn 10261 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
8 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
9 ifcl 3777 . . . 4  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
107, 8, 9syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
11 irrapxlem3 26889 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )  ->  E. a  e.  (
1 ... if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) ) )
121, 10, 11syl2anc 644 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e. 
NN0  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )
13 elfznn 11082 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ...
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  -> 
a  e.  NN )
1413ad3antlr 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  NN )
15 nn0z 10306 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
1615ad2antlr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
171ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
1817rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  RR )
1914nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  RR )
2018, 19remulcld 9118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  a )  e.  RR )
21 nn0re 10232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
2221ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  RR )
2320, 22resubcld 9467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  e.  RR )
2423recnd 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  e.  CC )
2524abscld 12240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  e.  RR )
267ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
278ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  e.  NN )
2826, 27, 9syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
2928nnrecred 10047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  e.  RR )
30 0re 9093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  e.  RR )
3220, 31resubcld 9467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  0 )  e.  RR )
33 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )
3426nnrecred 10047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  e.  RR )
3527nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  e.  RR )
3617rprecred 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
3736flcld 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  ZZ )
3837zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
39 peano2re 9241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR )
41 max2 10777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) )
4235, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
4326nngt0d 10045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )
4428nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR )
4528nngt0d 10045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
46 lerec 9894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  /\  ( if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR  /\  0  < 
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  <->  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) )  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) ) )
4740, 43, 44, 45, 46syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ) ) )
4842, 47mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ) )
49 fllep1 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR  ->  (
1  /  A )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5036, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5126nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  CC )
5226nnne0d 10046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  =/=  0 )
5351, 52recrecd 9789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5450, 53breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  <_  ( 1  / 
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) ) )
5540, 43recgt0d 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  ( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) )
5617rpgt0d 10653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  A )
57 lerec 9894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) ) ) )
5834, 55, 18, 56, 57syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) )  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_ 
( 1  /  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) ) ) )
5954, 58mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  <_  A )
6029, 34, 18, 48, 59letrd 9229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  A )
6118recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  CC )
6261mulid1d 9107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
6314nnge1d 10044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  1  <_  a )
64 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  1  e.  RR )
6665, 19, 17lemul2d 10690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  <_  a  <->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  a )
) )
6763, 66mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  a ) )
6862, 67eqbrtrrd 4236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  <_  ( A  x.  a
) )
6920recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  a )  e.  CC )
7069subid1d 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  0 )  =  ( A  x.  a ) )
7168, 70breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  <_  ( ( A  x.  a )  -  0 ) )
7229, 18, 32, 60, 71letrd 9229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) )
7325, 29, 32, 33, 72ltletrd 9232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( ( A  x.  a )  -  0 ) )
7423, 32absltd 12234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( ( A  x.  a )  -  0 )  <->  ( -u (
( A  x.  a
)  -  0 )  <  ( ( A  x.  a )  -  b )  /\  (
( A  x.  a
)  -  b )  <  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) ) ) )
7573, 74mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( -u ( ( A  x.  a )  -  0 )  <  ( ( A  x.  a )  -  b )  /\  ( ( A  x.  a )  -  b
)  <  ( ( A  x.  a )  -  0 ) ) )
7675simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  <  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) )
7731, 22, 20ltsub2d 9638 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
0  <  b  <->  ( ( A  x.  a )  -  b )  < 
( ( A  x.  a )  -  0 ) ) )
7876, 77mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  b )
79 elnnz 10294 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  0  < 
b ) )
8016, 78, 79sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  NN )
81 ifcl 3777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  if ( a  <_  B ,  B , 
a )  e.  NN )
8227, 14, 81syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  NN )
8382nnrecred 10047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a )
)  e.  RR )
84 elfzle2 11063 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 1 ...
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  -> 
a  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
8584ad3antlr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
86 max1 10775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) )
8735, 40, 86syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
88 maxle 10780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR )  -> 
( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  <->  ( a  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  /\  B  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) ) ) )
8919, 35, 44, 88syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( a  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  /\  B  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) ) )
9085, 87, 89mpbir2and 890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
91 ifcl 3777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_  B ,  B , 
a )  e.  RR )
9235, 19, 91syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  RR )
9327nngt0d 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  B )
94 max2 10777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  if (
a  <_  B ,  B ,  a )
)
9519, 35, 94syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  <_  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
9631, 35, 92, 93, 95ltletrd 9232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
97 lerec 9894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  RR  /\  0  < 
if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )  /\  ( if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR  /\  0  <  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
9892, 96, 44, 45, 97syl22anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
9990, 98mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
10025, 29, 83, 33, 99ltletrd 9232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
101 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  a ) )
102101oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
( A  x.  x
)  -  y )  =  ( ( A  x.  a )  -  y ) )
103102fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  y ) ) )
104 breq1 4217 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
x  <_  B  <->  a  <_  B ) )
105 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
106104, 105ifbieq2d 3761 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  if ( x  <_  B ,  B ,  x )  =  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
107106oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
)  =  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
108103, 107breq12d 4227 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) )  <->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  y
) )  <  (
1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a )
) ) )
109 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
( A  x.  a
)  -  y )  =  ( ( A  x.  a )  -  b ) )
110109fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) ) )
111110breq1d 4224 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) )  <-> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
112108, 111rspc2ev 3062 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
11314, 80, 100, 112syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
114113ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e. 
NN0 )  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  < 
( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
) ) )
115114rexlimdva 2832 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b
) )  <  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  < 
( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
) ) )
116115rexlimdva 2832 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  (
1 ... if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) ) )
11712, 116mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1726   E.wrex 2708   ifcif 3741   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   -ucneg 9294    / cdiv 9679   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   RR+crp 10614   ...cfz 11045   |_cfl 11203   abscabs 12041
This theorem is referenced by:  irrapxlem5  26891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043
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