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Theorem irrapxlem4 26322
Description: Lemma for irrapx1 26325. Eliminate ranges, use positivity of the input to force positivity of the output by increasing  B as needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem irrapxlem4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR+ )
21rpreccld 10400 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
1  /  A )  e.  RR+ )
32rprege0d 10397 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
( 1  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) ) )
4 flge0nn0 10948 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  A ) )  e.  NN0 )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e. 
NN0 )
6 nn0p1nn 10003 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
8 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
9 ifcl 3601 . . . 4  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
107, 8, 9syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
11 irrapxlem3 26321 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )  ->  E. a  e.  (
1 ... if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) ) )
121, 10, 11syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e. 
NN0  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )
13 simpllr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )
14 elfznn 10819 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ...
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  -> 
a  e.  NN )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  NN )
16 nn0z 10046 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
1716ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
181ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
1918rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  RR )
2015nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  RR )
2119, 20remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  a )  e.  RR )
22 nn0re 9974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
2322ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  RR )
2421, 23resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  e.  RR )
2524recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  e.  CC )
2625abscld 11918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  e.  RR )
277ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
288ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  e.  NN )
2927, 28, 9syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
3029nnrecred 9791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  e.  RR )
31 0re 8838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
3231a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  e.  RR )
3321, 32resubcld 9211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  0 )  e.  RR )
34 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )
3527nnrecred 9791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  e.  RR )
3628nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  e.  RR )
3718rprecred 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
3837flcld 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  ZZ )
3938zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
40 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR )
42 max2 10516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) )
4336, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
4427nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )
4529nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR )
4629nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
47 lerec 9638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  /\  ( if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR  /\  0  < 
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  <->  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) )  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) ) )
4841, 44, 45, 46, 47syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ) ) )
4943, 48mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ) )
50 fllep1 10933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR  ->  (
1  /  A )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5137, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5227nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  CC )
5327nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  =/=  0 )
5452, 53recrecd 9533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5551, 54breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  <_  ( 1  / 
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) ) )
5641, 44recgt0d 9691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  ( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) )
5718rpgt0d 10393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  A )
58 lerec 9638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) ) ) )
5935, 56, 19, 57, 58syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) )  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_ 
( 1  /  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) ) ) )
6055, 59mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  <_  A )
6130, 35, 19, 49, 60letrd 8973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  A )
6219recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  CC )
6362mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
6415nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  1  <_  a )
65 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
6665a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  1  e.  RR )
6766, 20, 18lemul2d 10430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  <_  a  <->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  a )
) )
6864, 67mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  a ) )
6963, 68eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  <_  ( A  x.  a
) )
7021recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  a )  e.  CC )
7170subid1d 9146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  0 )  =  ( A  x.  a ) )
7269, 71breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  <_  ( ( A  x.  a )  -  0 ) )
7330, 19, 33, 61, 72letrd 8973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) )
7426, 30, 33, 34, 73ltletrd 8976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( ( A  x.  a )  -  0 ) )
7524, 33absltd 11912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( ( A  x.  a )  -  0 )  <->  ( -u (
( A  x.  a
)  -  0 )  <  ( ( A  x.  a )  -  b )  /\  (
( A  x.  a
)  -  b )  <  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) ) ) )
7674, 75mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( -u ( ( A  x.  a )  -  0 )  <  ( ( A  x.  a )  -  b )  /\  ( ( A  x.  a )  -  b
)  <  ( ( A  x.  a )  -  0 ) ) )
7776simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  <  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) )
7832, 23, 21ltsub2d 9382 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
0  <  b  <->  ( ( A  x.  a )  -  b )  < 
( ( A  x.  a )  -  0 ) ) )
7977, 78mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  b )
80 elnnz 10034 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  0  < 
b ) )
8117, 79, 80sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  NN )
82 ifcl 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  if ( a  <_  B ,  B , 
a )  e.  NN )
8328, 15, 82syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  NN )
8483nnrecred 9791 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a )
)  e.  RR )
85 elfzle2 10800 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 1 ...
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  -> 
a  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
8613, 85syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
87 max1 10514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) )
8836, 41, 87syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
89 maxle 10519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR )  -> 
( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  <->  ( a  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  /\  B  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) ) ) )
9020, 36, 45, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( a  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  /\  B  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) ) )
9186, 88, 90mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
92 ifcl 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_  B ,  B , 
a )  e.  RR )
9336, 20, 92syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  RR )
9428nngt0d 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  B )
95 max2 10516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  if (
a  <_  B ,  B ,  a )
)
9620, 36, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  <_  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
9732, 36, 93, 94, 96ltletrd 8976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
98 lerec 9638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  RR  /\  0  < 
if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )  /\  ( if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR  /\  0  <  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
9993, 97, 45, 46, 98syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
10091, 99mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
10126, 30, 84, 34, 100ltletrd 8976 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
102 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  a ) )
103102oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
( A  x.  x
)  -  y )  =  ( ( A  x.  a )  -  y ) )
104103fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  y ) ) )
105 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
x  <_  B  <->  a  <_  B ) )
106 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
107105, 106ifbieq2d 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  if ( x  <_  B ,  B ,  x )  =  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
108107oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
)  =  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
109104, 108breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) )  <->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  y
) )  <  (
1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a )
) ) )
110 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
( A  x.  a
)  -  y )  =  ( ( A  x.  a )  -  b ) )
111110fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) ) )
112111breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) )  <-> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
113109, 112rspc2ev 2892 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
11415, 81, 101, 113syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
115114ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e. 
NN0 )  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  < 
( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
) ) )
116115rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b
) )  <  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  < 
( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
) ) )
117116rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  (
1 ... if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) ) )
11812, 117mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ...cfz 10782   |_cfl 10924   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  irrapxlem5  26323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
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