MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredneg Unicode version

Theorem irredneg 15541
Description: The negative of an irreducible element is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i  |-  I  =  (Irred `  R )
irredneg.n  |-  N  =  ( inv g `  R )
Assertion
Ref Expression
irredneg  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I )  ->  ( N `  X )  e.  I )

Proof of Theorem irredneg
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2316 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3 eqid 2316 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
4 irredneg.n . . 3  |-  N  =  ( inv g `  R )
5 simpl 443 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
6 irredn0.i . . . . 5  |-  I  =  (Irred `  R )
76, 1irredcl 15535 . . . 4  |-  ( X  e.  I  ->  X  e.  ( Base `  R
) )
87adantl 452 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I )  ->  X  e.  ( Base `  R
) )
91, 2, 3, 4, 5, 8rngnegr 15430 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I )  ->  ( X ( .r `  R ) ( N `
 ( 1r `  R ) ) )  =  ( N `  X ) )
10 eqid 2316 . . . . . 6  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
1110, 31unit 15489 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  (Unit `  R )
)
1210, 4unitnegcl 15512 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( N `  ( 1r `  R
) )  e.  (Unit `  R ) )
1311, 12mpdan 649 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( N `
 ( 1r `  R ) )  e.  (Unit `  R )
)
1413adantr 451 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I )  ->  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  (Unit `  R )
)
156, 10, 2irredrmul 15538 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( X
( .r `  R
) ( N `  ( 1r `  R ) ) )  e.  I
)
1614, 15mpd3an3 1278 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I )  ->  ( X ( .r `  R ) ( N `
 ( 1r `  R ) ) )  e.  I )
179, 16eqeltrrd 2391 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I )  ->  ( N `  X )  e.  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   .rcmulr 13256   inv gcminusg 14412   Ringcrg 15386   1rcur 15388  Unitcui 15470  Irredcir 15471
This theorem is referenced by:  irrednegb  15542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-irred 15474  df-invr 15503  df-dvr 15514
  Copyright terms: Public domain W3C validator