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Theorem irredrmul 15489
Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i  |-  I  =  (Irred `  R )
irredrmul.u  |-  U  =  (Unit `  R )
irredrmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
irredrmul  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  I )

Proof of Theorem irredrmul
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  I )
2 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  R  e.  Ring )
3 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  U )
4 irredrmul.u . . . . . . . . 9  |-  U  =  (Unit `  R )
5 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  (/r `  R
)  =  (/r `  R
)
64, 5unitdvcl 15469 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  .x.  Y )  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
) (/r `  R ) Y )  e.  U )
763com23 1157 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U  /\  ( X  .x.  Y )  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
) (/r `  R ) Y )  e.  U )
873expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  -> 
( ( X  .x.  Y ) (/r `  R
) Y )  e.  U ) )
92, 3, 8syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  -> 
( ( X  .x.  Y ) (/r `  R
) Y )  e.  U ) )
10 irredn0.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  (Irred `  R )
11 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1210, 11irredcl 15486 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  I  ->  X  e.  ( Base `  R
) )
13123ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  R
) )
14 irredrmul.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
1511, 4, 5, 14dvrcan3 15474 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( Base `  R
)  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
) (/r `  R ) Y )  =  X )
162, 13, 3, 15syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
) (/r `  R ) Y )  =  X )
1716eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  (
( ( X  .x.  Y ) (/r `  R
) Y )  e.  U  <->  X  e.  U
) )
189, 17sylibd 205 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
)  e.  U  ->  X  e.  U )
)
192ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  R  e.  Ring )
20 eldifi 3298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  \  U
)  ->  y  e.  ( Base `  R )
)
2120ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  R )
)
223ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  Y  e.  U )
2311, 4, 5dvrcl 15468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  Y  e.  U )  ->  (
y (/r `  R ) Y )  e.  ( Base `  R ) )
2419, 21, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( y
(/r `  R ) Y )  e.  ( Base `  R ) )
25 eldifn 3299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  \  U
)  ->  -.  y  e.  U )
2625ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  -.  y  e.  U )
274, 14unitmulcl 15446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
y (/r `  R ) Y )  e.  U  /\  Y  e.  U )  ->  ( ( y (/r `  R ) Y ) 
.x.  Y )  e.  U )
28273com23 1157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U  /\  (
y (/r `  R ) Y )  e.  U )  ->  ( ( y (/r `  R ) Y )  .x.  Y )  e.  U )
29283expia 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (
( y (/r `  R
) Y )  e.  U  ->  ( (
y (/r `  R ) Y )  .x.  Y )  e.  U ) )
3019, 22, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
y (/r `  R ) Y )  e.  U  -> 
( ( y (/r `  R ) Y ) 
.x.  Y )  e.  U ) )
3111, 4, 5, 14dvrcan1 15473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  Y  e.  U )  ->  (
( y (/r `  R
) Y )  .x.  Y )  =  y )
3219, 21, 22, 31syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
y (/r `  R ) Y )  .x.  Y )  =  y )
3332eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
( y (/r `  R
) Y )  .x.  Y )  e.  U  <->  y  e.  U ) )
3430, 33sylibd 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
y (/r `  R ) Y )  e.  U  -> 
y  e.  U ) )
3526, 34mtod 168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  -.  (
y (/r `  R ) Y )  e.  U )
36 eldif 3162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y (/r `  R ) Y )  e.  ( (
Base `  R )  \  U )  <->  ( (
y (/r `  R ) Y )  e.  ( Base `  R )  /\  -.  ( y (/r `  R
) Y )  e.  U ) )
3724, 35, 36sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( y
(/r `  R ) Y )  e.  ( (
Base `  R )  \  U ) )
38 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( x  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y ) )
3938oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
(/r `  R ) Y )  =  ( ( X  .x.  Y ) (/r `  R ) Y ) )
40 eldifi 3298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( Base `  R )  \  U
)  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
4140ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
4211, 4, 5, 14dvrass 15472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( x  .x.  y ) (/r `  R
) Y )  =  ( x  .x.  (
y (/r `  R ) Y ) ) )
4319, 41, 21, 22, 42syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
(/r `  R ) Y )  =  ( x 
.x.  ( y (/r `  R ) Y ) ) )
4416ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( ( X  .x.  Y ) (/r `  R ) Y )  =  X )
4539, 43, 443eqtr3d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  ( x  .x.  ( y (/r `  R
) Y ) )  =  X )
46 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( y (/r `  R ) Y )  ->  ( x  .x.  z )  =  ( x  .x.  ( y (/r `  R ) Y ) ) )
4746eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y (/r `  R ) Y )  ->  ( ( x 
.x.  z )  =  X  <->  ( x  .x.  ( y (/r `  R
) Y ) )  =  X ) )
4847rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y (/r `  R
) Y )  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  (
y (/r `  R ) Y ) )  =  X )  ->  E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X )
4937, 45, 48syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  ( y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )  /\  ( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y ) ) )  ->  E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X )
5049expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U
)  /\  x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
)  ->  ( (
x  .x.  y )  =  ( X  .x.  Y )  ->  E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X ) )
5150rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  \  U ) )  -> 
( E. y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y )  ->  E. z  e.  (
( Base `  R )  \  U ) ( x 
.x.  z )  =  X ) )
5251reximdva 2655 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( E. x  e.  (
( Base `  R )  \  U ) E. y  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  y
)  =  ( X 
.x.  Y )  ->  E. x  e.  (
( Base `  R )  \  U ) E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X ) )
5318, 52orim12d 811 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  (
( ( X  .x.  Y )  e.  U  \/  E. x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U ) E. y  e.  (
( Base `  R )  \  U ) ( x 
.x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) )  ->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  ( (
Base `  R )  \  U ) E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X ) ) )
5411, 4unitcl 15441 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  U  ->  Y  e.  ( Base `  R
) )
55543ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  ( Base `  R
) )
5611, 14rngcl 15354 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  ( Base `  R
)  /\  Y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  (
Base `  R )
)
572, 13, 55, 56syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  ( Base `  R
) )
58 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( (
Base `  R )  \  U )  =  ( ( Base `  R
)  \  U )
5911, 4, 10, 58, 14isnirred 15482 . . . 4  |-  ( ( X  .x.  Y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( -.  ( X  .x.  Y )  e.  I  <->  ( ( X  .x.  Y )  e.  U  \/  E. x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U ) E. y  e.  (
( Base `  R )  \  U ) ( x 
.x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) ) ) )
6057, 59syl 15 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( -.  ( X  .x.  Y
)  e.  I  <->  ( ( X  .x.  Y )  e.  U  \/  E. x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U ) E. y  e.  (
( Base `  R )  \  U ) ( x 
.x.  y )  =  ( X  .x.  Y
) ) ) )
6111, 4, 10, 58, 14isnirred 15482 . . . 4  |-  ( X  e.  ( Base `  R
)  ->  ( -.  X  e.  I  <->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  ( ( Base `  R
)  \  U ) E. z  e.  (
( Base `  R )  \  U ) ( x 
.x.  z )  =  X ) ) )
6213, 61syl 15 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( -.  X  e.  I  <->  ( X  e.  U  \/  E. x  e.  ( (
Base `  R )  \  U ) E. z  e.  ( ( Base `  R
)  \  U )
( x  .x.  z
)  =  X ) ) )
6353, 60, 623imtr4d 259 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( -.  ( X  .x.  Y
)  e.  I  ->  -.  X  e.  I
) )
641, 63mt4d 130 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  I  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  I )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    \ cdif 3149   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   Ringcrg 15337  Unitcui 15421  Irredcir 15422  /rcdvr 15464
This theorem is referenced by:  irredlmul  15490  irredneg  15492
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-irred 15425  df-invr 15454  df-dvr 15465
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