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Theorem is1stc2 17224
Description: An equivalent way of saying "is a first-countable topology." (Contributed by Jeff Hankins, 22-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
is1stc.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
is1stc2  |-  ( J  e.  1stc  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    x, J, y, z    x, X
Allowed substitution hints:    J( w)    X( y, z, w)

Proof of Theorem is1stc2
StepHypRef Expression
1 is1stc.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21is1stc 17223 . 2  |-  ( J  e.  1stc  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  x  e. 
U. ( y  i^i 
~P z ) ) ) ) )
3 elin 3392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
~P z )  <->  ( w  e.  y  /\  w  e.  ~P z ) )
4 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
54elpw 3665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ~P z  <->  w  C_  z
)
65anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  y  /\  w  e.  ~P z
)  <->  ( w  e.  y  /\  w  C_  z ) )
73, 6bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( y  i^i 
~P z )  <->  ( w  e.  y  /\  w  C_  z ) )
87anbi2i 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  w  /\  w  e.  ( y  i^i  ~P z ) )  <-> 
( x  e.  w  /\  ( w  e.  y  /\  w  C_  z
) ) )
9 an12 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  w  /\  ( w  e.  y  /\  w  C_  z ) )  <->  ( w  e.  y  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
108, 9bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  w  /\  w  e.  ( y  i^i  ~P z ) )  <-> 
( w  e.  y  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
1110exbii 1573 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  ( y  i^i  ~P z ) )  <->  E. w
( w  e.  y  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
12 eluni 3867 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U. ( y  i^i  ~P z )  <->  E. w ( x  e.  w  /\  w  e.  ( y  i^i  ~P z ) ) )
13 df-rex 2583 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w
( w  e.  y  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
1411, 12, 133bitr4i 268 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. ( y  i^i  ~P z )  <->  E. w  e.  y 
( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )
1514imbi2i 303 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  e.  U. (
y  i^i  ~P z
) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
1615ralbii 2601 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  J  (
x  e.  z  ->  x  e.  U. (
y  i^i  ~P z
) )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
1716anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  x  e. 
U. ( y  i^i 
~P z ) ) )  <->  ( y  ~<_  om 
/\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
1817rexbii 2602 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~P  J
( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  x  e.  U. (
y  i^i  ~P z
) ) )  <->  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
1918ralbii 2601 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  ~P  J
( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  x  e.  U. (
y  i^i  ~P z
) ) )  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
2019anbi2i 675 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  ~P  J
( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  x  e.  U. (
y  i^i  ~P z
) ) ) )  <-> 
( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om 
/\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
212, 20bitri 240 1  |-  ( J  e.  1stc  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  ~P  J ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578    i^i cin 3185    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   U.cuni 3864   class class class wbr 4060   omcom 4693    ~<_ cdom 6904   Topctop 16687   1stcc1stc 17219
This theorem is referenced by:  1stcclb  17226  2ndc1stc  17233  1stcrest  17235  lly1stc  17278  tx1stc  17400  met1stc  18119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-in 3193  df-ss 3200  df-pw 3661  df-uni 3865  df-1stc 17221
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