Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isKleene Unicode version

Theorem isKleene 25988
Description: The predicate is the Kleene star of a set  A. An element of  ( Kleene `  A
) is called a word. (Contributed by FL, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
isKleene  |-  ( A  e.  B  ->  ( Kleene `
 A )  = 
U_ u  e.  NN0  ( A  ^m  (
1 ... u ) ) )
Distinct variable group:    u, A
Allowed substitution hint:    B( u)

Proof of Theorem isKleene
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
2 nn0ex 9971 . . 3  |-  NN0  e.  _V
3 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( A  ^m  ( 1 ... u ) )  e. 
_V
43rgenw 2610 . . . 4  |-  A. u  e.  NN0  ( A  ^m  ( 1 ... u
) )  e.  _V
54a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  A. u  e.  NN0  ( A  ^m  ( 1 ... u
) )  e.  _V )
6 iunexg 5767 . . 3  |-  ( ( NN0  e.  _V  /\  A. u  e.  NN0  ( A  ^m  ( 1 ... u ) )  e. 
_V )  ->  U_ u  e.  NN0  ( A  ^m  ( 1 ... u
) )  e.  _V )
72, 5, 6sylancr 644 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  U_ u  e.  NN0  ( A  ^m  ( 1 ... u
) )  e.  _V )
8 oveq1 5865 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ^m  ( 1 ... u ) )  =  ( A  ^m  ( 1 ... u
) ) )
98iuneq2d 3930 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  U_ u  e.  NN0  ( x  ^m  ( 1 ... u
) )  =  U_ u  e.  NN0  ( A  ^m  ( 1 ... u ) ) )
10 df-kle 25987 . . 3  |-  Kleene  =  ( x  e.  _V  |->  U_ u  e.  NN0  ( x  ^m  ( 1 ... u ) ) )
119, 10fvmptg 5600 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U_ u  e.  NN0  ( A  ^m  ( 1 ... u ) )  e. 
_V )  ->  ( Kleene `
 A )  = 
U_ u  e.  NN0  ( A  ^m  (
1 ... u ) ) )
121, 7, 11syl2anc 642 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( Kleene `
 A )  = 
U_ u  e.  NN0  ( A  ^m  (
1 ... u ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   U_ciun 3905   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   1c1 8738   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   Kleeneckln 25980
This theorem is referenced by:  1iskle  25989  empklst  26009  clscnc  26010  phckle  26027  psckle  26028
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-n0 9966  df-kle 25987
  Copyright terms: Public domain W3C validator