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Theorem isabv 15584
Description: Elementhood in the set of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvfval.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvfval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
abvfval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
abvfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
isabv  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isabv
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvfval.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvfval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 abvfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 abvfval.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 abvfval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
61, 2, 3, 4, 5abvfval 15583 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  A  =  { f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B )  | 
A. x  e.  B  ( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) } )
76eleq2d 2350 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B )  |  A. x  e.  B  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) } ) )
8 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
98eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  =  0  <->  ( F `  x )  =  0 ) )
109bibi1d 310 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) ) )
11 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( F `  (
x  .x.  y )
) )
12 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
138, 12oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) ) )
1411, 13eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) ) )
15 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( F `  (
x  .+  y )
) )
168, 12oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
1715, 16breq12d 4036 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
1814, 17anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
1918ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
2010, 19anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
2120ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
2221elrab 2923 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,) 
+oo )  ^m  B
)  |  A. x  e.  B  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) }  <->  ( F  e.  ( ( 0 [,) 
+oo )  ^m  B
)  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
23 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  e.  _V
24 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
252, 24eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2623, 25elmap 6796 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B
)  <->  F : B --> ( 0 [,)  +oo ) )
2726anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )  <->  ( F : B
--> ( 0 [,)  +oo )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) ) ) )
2822, 27bitri 240 . 2  |-  ( F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,) 
+oo )  ^m  B
)  |  A. x  e.  B  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) }  <->  ( F : B --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
297, 28syl6bb 252 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    <_ cle 8868   [,)cico 10658   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Ringcrg 15337  AbsValcabv 15581
This theorem is referenced by:  isabvd  15585  abvfge0  15587  abveq0  15591  abvmul  15594  abvtri  15595  abvpropd  15607
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-abv 15582
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