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Theorem isabv 15600
Description: Elementhood in the set of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvfval.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvfval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
abvfval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
abvfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
isabv  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem isabv
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvfval.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvfval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 abvfval.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 abvfval.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 abvfval.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
61, 2, 3, 4, 5abvfval 15599 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  A  =  { f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B )  | 
A. x  e.  B  ( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) } )
76eleq2d 2363 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B )  |  A. x  e.  B  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) } ) )
8 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
98eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  =  0  <->  ( F `  x )  =  0 ) )
109bibi1d 310 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) ) )
11 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( F `  (
x  .x.  y )
) )
12 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
138, 12oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( F `  y
) ) )
1411, 13eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  x.  ( F `
 y ) ) ) )
15 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( x  .+  y ) )  =  ( F `  (
x  .+  y )
) )
168, 12oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) )
1715, 16breq12d 4052 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) )  <->  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
1814, 17anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
1918ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )
2010, 19anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
2120ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
2221elrab 2936 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,) 
+oo )  ^m  B
)  |  A. x  e.  B  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) }  <->  ( F  e.  ( ( 0 [,) 
+oo )  ^m  B
)  /\  A. x  e.  B  ( (
( F `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
23 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  e.  _V
24 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
252, 24eqeltri 2366 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2623, 25elmap 6812 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B
)  <->  F : B --> ( 0 [,)  +oo ) )
2726anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) )  <->  ( F : B
--> ( 0 [,)  +oo )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( F `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y )
)  /\  ( F `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) ) ) ) )
2822, 27bitri 240 . 2  |-  ( F  e.  { f  e.  ( ( 0 [,) 
+oo )  ^m  B
)  |  A. x  e.  B  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) }  <->  ( F : B --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) )
297, 28syl6bb 252 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( F  e.  A  <->  ( F : B --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  B  (
( ( F `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( F `  y ) )  /\  ( F `  ( x 
.+  y ) )  <_  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    <_ cle 8884   [,)cico 10674   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   Ringcrg 15353  AbsValcabv 15597
This theorem is referenced by:  isabvd  15601  abvfge0  15603  abveq0  15607  abvmul  15610  abvtri  15611  abvpropd  15623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-abv 15598
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