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Theorem isacn 7671
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacn  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, A    f, X, g, x
Allowed substitution hints:    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem isacn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 3628 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ~P y  =  ~P X
)
21difeq1d 3293 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( ~P y  \  { (/) } )  =  ( ~P X  \  { (/) } ) )
32oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  (
( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A )  =  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )
43raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( y  =  X  ->  ( A. f  e.  (
( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x )  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
54anbi2d 684 . . 3  |-  ( y  =  X  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <-> 
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) ) )
6 df-acn 7575 . . 3  |- AC  A  =  { y  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P y  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  ( f `  x
) ) }
75, 6elab2g 2916 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  e. AC  A  <->  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) ) )
8 elex 2796 . . 3  |-  ( A  e.  W  ->  A  e.  _V )
9 biid 227 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  ( f `  x
) )  <->  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
109baib 871 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <->  A. f  e.  (
( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
118, 10syl 15 . 2  |-  ( A  e.  W  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <->  A. f  e.  (
( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
127, 11sylan9bb 680 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772  AC wacn 7571
This theorem is referenced by:  acni  7672  numacn  7676  finacn  7677  acndom  7678  acndom2  7681  acncc  8066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-acn 7575
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