MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacn Unicode version

Theorem isacn 7851
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacn  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, A    f, X, g, x
Allowed substitution hints:    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem isacn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 3738 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ~P y  =  ~P X
)
21difeq1d 3400 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  ( ~P y  \  { (/) } )  =  ( ~P X  \  { (/) } ) )
32oveq1d 6028 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  (
( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A )  =  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) )
43raleqdv 2846 . . . 4  |-  ( y  =  X  ->  ( A. f  e.  (
( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x )  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
54anbi2d 685 . . 3  |-  ( y  =  X  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P y  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <-> 
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) ) )
6 df-acn 7755 . . 3  |- AC  A  =  { y  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P y  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  ( f `  x
) ) }
75, 6elab2g 3020 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  e. AC  A  <->  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) ) )
8 elex 2900 . . 3  |-  ( A  e.  W  ->  A  e.  _V )
9 biid 228 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  ( f `  x
) )  <->  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
109baib 872 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <->  A. f  e.  (
( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
118, 10syl 16 . 2  |-  ( A  e.  W  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )  <->  A. f  e.  (
( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
127, 11sylan9bb 681 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( X  e. AC  A  <->  A. f  e.  ( ( ~P X  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   _Vcvv 2892    \ cdif 3253   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   {csn 3750   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    ^m cmap 6947  AC wacn 7751
This theorem is referenced by:  acni  7852  numacn  7856  finacn  7857  acndom  7858  acndom2  7861  acncc  8246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-iota 5351  df-fv 5395  df-ov 6016  df-acn 7755
  Copyright terms: Public domain W3C validator