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Theorem isacs2 13878
 Description: In the definition of an algebraic closure system, we may always take the operation being closed over as the Moore closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isacs2.f mrCls
Assertion
Ref Expression
isacs2 ACS Moore
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem isacs2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 13876 . 2 ACS Moore
2 iunss 4132 . . . . . . . . 9
3 ffun 5593 . . . . . . . . . . 11
4 funiunfv 5995 . . . . . . . . . . 11
53, 4syl 16 . . . . . . . . . 10
65sseq1d 3375 . . . . . . . . 9
72, 6syl5rbbr 252 . . . . . . . 8
87bibi2d 310 . . . . . . 7
98ralbidv 2725 . . . . . 6
109pm5.32i 619 . . . . 5
1110exbii 1592 . . . 4
12 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13 Moore Moore
13 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1413sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15
15 elpwi 3807 . . . . . . . . . . . . . . 15
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
1716adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13 Moore
18 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13 Moore
19 isacs2.f . . . . . . . . . . . . . 14 mrCls
2019mrcsscl 13845 . . . . . . . . . . . . 13 Moore
2112, 17, 18, 20syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12 Moore
2221ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . 11 Moore
2322adantlr 696 . . . . . . . . . 10 Moore
2423adantllr 700 . . . . . . . . 9 Moore
25 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Moore Moore
2616adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Moore
27 elpwi 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2827ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Moore
2926, 28sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Moore
3025, 19, 29mrcssidd 13850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Moore
31 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3231elpw 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3330, 32sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Moore
34 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3534sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3635adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Moore
37 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3833, 36, 37sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15 Moore
3919mrccl 13836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Moore
4025, 29, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Moore
41 mresspw 13817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Moore
4241ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Moore
4342, 40sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Moore
44 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Moore
4544ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Moore
46 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47 pweq 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4847ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
49 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5048, 49raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5146, 50bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5251rspcva 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5343, 45, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Moore
5440, 53mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15 Moore
55 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5655sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5756rspcva 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15
5838, 54, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 Moore
59 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . . 14
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Moore
6160ralimdva 2784 . . . . . . . . . . . 12 Moore
6261imp 419 . . . . . . . . . . 11 Moore
63 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13
6463sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . 12
6564cbvralv 2932 . . . . . . . . . . 11
6662, 65sylib 189 . . . . . . . . . 10 Moore
67 simplr 732 . . . . . . . . . . 11 Moore
6844ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11 Moore
69 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . 13
70 pweq 3802 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . . 14
72 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . 14
7371, 72raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . . 13
7469, 73bibi12d 313 . . . . . . . . . . . 12
7574rspcva 3050 . . . . . . . . . . 11
7667, 68, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 Moore
7766, 76mpbird 224 . . . . . . . . 9 Moore
7824, 77impbida 806 . . . . . . . 8 Moore
7978ralrimiva 2789 . . . . . . 7 Moore
8079ex 424 . . . . . 6 Moore
8180exlimdv 1646 . . . . 5 Moore
8219mrcf 13834 . . . . . . . 8 Moore
83 fss 5599 . . . . . . . 8
8482, 41, 83syl2anc 643 . . . . . . 7 Moore
85 fvex 5742 . . . . . . . . 9 mrCls
8619, 85eqeltri 2506 . . . . . . . 8
87 feq1 5576 . . . . . . . . 9
88 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . 14
9089ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . 13
91 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . 14
9392cbvralv 2932 . . . . . . . . . . . . 13
9490, 93syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12
9594bibi2d 310 . . . . . . . . . . 11
9695ralbidv 2725 . . . . . . . . . 10
97 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . 13
9871, 97raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . 12
9969, 98bibi12d 313 . . . . . . . . . . 11
10099cbvralv 2932 . . . . . . . . . 10
10196, 100syl6bb 253 . . . . . . . . 9
10287, 101anbi12d 692 . . . . . . . 8
10386, 102spcev 3043 . . . . . . 7
10484, 103sylan 458 . . . . . 6 Moore
105104ex 424 . . . . 5 Moore
10681, 105impbid 184 . . . 4 Moore
10711, 106syl5bb 249 . . 3 Moore
108107pm5.32i 619 . 2 Moore Moore
1091, 108bitri 241 1 ACS Moore
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  cuni 4015  ciun 4093  cima 4881   wfun 5448  wf 5450  cfv 5454  cfn 7109  Moorecmre 13807  mrClscmrc 13808  ACScacs 13810 This theorem is referenced by:  acsfiel  13879  isacs5  14598 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814
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