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Theorem isacs2 13878
Description: In the definition of an algebraic closure system, we may always take the operation being closed over as the Moore closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isacs2.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
isacs2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
Distinct variable groups:    C, s,
y    F, s, y    X, s, y

Proof of Theorem isacs2
Dummy variables  f 
t  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 13876 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) ) ) )
2 iunss 4132 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z ) 
C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t )
3 ffun 5593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  Fun  f )
4 funiunfv 5995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  f  ->  U_ z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  = 
U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  U_ z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  =  U. ( f " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
65sseq1d 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( U_ z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t 
<-> 
U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )
72, 6syl5rbbr 252 . . . . . . . 8  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( U. ( f
" ( ~P t  i^i  Fin ) )  C_  t 
<-> 
A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
87bibi2d 310 . . . . . . 7  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t )  <->  ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
98ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( A. t  e. 
~P  X ( t  e.  C  <->  U. (
f " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  t )  <->  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
109pm5.32i 619 . . . . 5  |-  ( ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. (
f " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  t )
)  <->  ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
1110exbii 1592 . . . 4  |-  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )  <->  E. f
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
12 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  ->  C  e.  (Moore `  X
) )
13 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
~P s
1413sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  ~P s )
15 elpwi 3807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~P s  -> 
y  C_  s )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  C_  s )
1716adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
y  C_  s )
18 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
s  e.  C )
19 isacs2.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  (mrCls `  C )
2019mrcsscl 13845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  y  C_  s  /\  s  e.  C )  ->  ( F `  y )  C_  s )
2112, 17, 18, 20syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
( F `  y
)  C_  s )
2221ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s )
2322adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
)
2423adantllr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
)
25 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
2616adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  s
)
27 elpwi 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  ~P X  -> 
s  C_  X )
2827ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  s  C_  X
)
2926, 28sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  X
)
3025, 19, 29mrcssidd 13850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  ( F `  y )
)
31 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
3231elpw 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ~P ( F `
 y )  <->  y  C_  ( F `  y ) )
3330, 32sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ~P ( F `  y ) )
34 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3534sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
3635adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
37 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P ( F `  y )  /\  y  e.  Fin ) )
3833, 36, 37sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) )
3919mrccl 13836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  y  C_  X )  ->  ( F `  y )  e.  C )
4025, 29, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( F `  y )  e.  C
)
41 mresspw 13817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
4241ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  C  C_  ~P X )
4342, 40sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( F `  y )  e.  ~P X )
44 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
4544ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
46 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
t  e.  C  <->  ( F `  y )  e.  C
) )
47 pweq 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ~P t  =  ~P ( F `  y )
)
4847ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  =  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) )
49 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( f `  z )  C_  ( F `  y )
) )
5048, 49raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) )
5146, 50bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( ( F `  y
)  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) ) )
5251rspcva 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) )
5343, 45, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 y )  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
) )
5440, 53mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
)
55 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  (
f `  z )  =  ( f `  y ) )
5655sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  ->  (
( f `  z
)  C_  ( F `  y )  <->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
) )
5756rspcva 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( ~P ( F `  y
)  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
)  ->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
)
5838, 54, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
)
59 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  y ) 
C_  ( F `  y )  ->  (
( F `  y
)  C_  s  ->  ( f `  y ) 
C_  s ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 y )  C_  s  ->  ( f `  y )  C_  s
) )
6160ralimdva 2784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  /\  s  e.  ~P X )  ->  ( A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( f `  y
)  C_  s )
)
6261imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  y )  C_  s
)
63 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
f `  y )  =  ( f `  z ) )
6463sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( f `  y
)  C_  s  <->  ( f `  z )  C_  s
) )
6564cbvralv 2932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  y ) 
C_  s  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s )
6662, 65sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. z  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  s
)
67 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  s  e.  ~P X
)
6844ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
69 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
t  e.  C  <->  s  e.  C ) )
70 pweq 3802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  s  ->  ~P t  =  ~P s
)
7170ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  =  ( ~P s  i^i  Fin ) )
72 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( f `  z )  C_  s
) )
7371, 72raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) )
7469, 73bibi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) ) )
7574rspcva 3050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  (
s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) )
7667, 68, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  ( s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  s )
)
7766, 76mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  s  e.  C )
7824, 77impbida 806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  /\  s  e.  ~P X )  ->  (
s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )
7978ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) )
8079ex 424 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
8180exlimdv 1646 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
8219mrcf 13834 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> C )
83 fss 5599 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ~P X --> C  /\  C  C_  ~P X )  ->  F : ~P X --> ~P X
)
8482, 41, 83syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> ~P X )
85 fvex 5742 . . . . . . . . 9  |-  (mrCls `  C )  e.  _V
8619, 85eqeltri 2506 . . . . . . . 8  |-  F  e. 
_V
87 feq1 5576 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ~P X --> ~P X  <->  F : ~P X --> ~P X ) )
88 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  z )  =  ( F `  z ) )
8988sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( F `  z )  C_  t
) )
9089ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 z )  C_  t ) )
91 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
9291sseq1d 3375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  C_  t  <->  ( F `  y )  C_  t
) )
9392cbvralv 2932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( F `  z ) 
C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t )
9490, 93syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t ) )
9594bibi2d 310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t ) ) )
9695ralbidv 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  ( A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
)  <->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  t
) ) )
97 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  y
)  C_  t  <->  ( F `  y )  C_  s
) )
9871, 97raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  ( A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )
9969, 98bibi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  s  ->  (
( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t )  <->  ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
10099cbvralv 2932 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t )  <->  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
)
10196, 100syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
)  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
10287, 101anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
)  <->  ( F : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
) ) )
10386, 102spcev 3043 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )  ->  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
10484, 103sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
105104ex 424 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) ) )
10681, 105impbid 184 . . . 4  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
10711, 106syl5bb 249 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
108107pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) ) )  <-> 
( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
) )
1091, 108bitri 241 1  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   U_ciun 4093   "cima 4881   Fun wfun 5448   -->wf 5450   ` cfv 5454   Fincfn 7109  Moorecmre 13807  mrClscmrc 13808  ACScacs 13810
This theorem is referenced by:  acsfiel  13879  isacs5  14598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814
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