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Theorem isacs2 13555
Description: In the definition of an algebraic closure system, we may always take the operation being closed over as the Moore closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
isacs2.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
isacs2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
Distinct variable groups:    C, s,
y    F, s, y    X, s, y

Proof of Theorem isacs2
Dummy variables  f 
t  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 13553 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) ) ) )
2 iunss 3943 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z ) 
C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t )
3 ffun 5391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  Fun  f )
4 funiunfv 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  f  ->  U_ z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  = 
U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) ) )
53, 4syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  U_ z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  =  U. ( f " ( ~P t  i^i  Fin )
) )
65sseq1d 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( U_ z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t 
<-> 
U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )
72, 6syl5rbbr 251 . . . . . . . 8  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( U. ( f
" ( ~P t  i^i  Fin ) )  C_  t 
<-> 
A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
87bibi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t )  <->  ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
98ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( f : ~P X --> ~P X  ->  ( A. t  e. 
~P  X ( t  e.  C  <->  U. (
f " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  t )  <->  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
109pm5.32i 618 . . . . 5  |-  ( ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. (
f " ( ~P t  i^i  Fin )
)  C_  t )
)  <->  ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
1110exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )  <->  E. f
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
12 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  ->  C  e.  (Moore `  X
) )
13 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
~P s
1413sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  ~P s )
15 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~P s  -> 
y  C_  s )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  C_  s )
1716adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
y  C_  s )
18 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
s  e.  C )
19 isacs2.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  (mrCls `  C )
2019mrcsscl 13522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  y  C_  s  /\  s  e.  C )  ->  ( F `  y )  C_  s )
2112, 17, 18, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  -> 
( F `  y
)  C_  s )
2221ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s )
2322adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
)
2423adantllr 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  s  e.  C )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
)
25 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
2616adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  s
)
27 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  ~P X  -> 
s  C_  X )
2827ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  s  C_  X
)
2926, 28sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  X
)
3019mrcssid 13519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  y  C_  X )  ->  y  C_  ( F `  y
) )
3125, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  ( F `  y )
)
32 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
3332elpw 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ~P ( F `
 y )  <->  y  C_  ( F `  y ) )
3431, 33sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ~P ( F `  y ) )
35 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3635sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
3736adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
38 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P ( F `  y )  /\  y  e.  Fin ) )
3934, 37, 38sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) )
4019mrccl 13513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  y  C_  X )  ->  ( F `  y )  e.  C )
4125, 29, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( F `  y )  e.  C
)
42 mresspw 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
4342ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  C  C_  ~P X )
4443, 41sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( F `  y )  e.  ~P X )
45 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
47 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
t  e.  C  <->  ( F `  y )  e.  C
) )
48 pweq 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ~P t  =  ~P ( F `  y )
)
4948ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  =  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) )
50 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( f `  z )  C_  ( F `  y )
) )
5149, 50raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) )
5247, 51bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  ( F `  y )  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( ( F `  y
)  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) ) )
5352rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `
 y )  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  ( F `  y ) ) )
5444, 46, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 y )  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
) )
5541, 54mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
)
56 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  (
f `  z )  =  ( f `  y ) )
5756sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  ->  (
( f `  z
)  C_  ( F `  y )  <->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
) )
5857rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ( ~P ( F `  y
)  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P ( F `  y )  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  ( F `  y )
)  ->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
)
5939, 55, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( f `  y )  C_  ( F `  y )
)
60 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  y ) 
C_  ( F `  y )  ->  (
( F `  y
)  C_  s  ->  ( f `  y ) 
C_  s ) )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 y )  C_  s  ->  ( f `  y )  C_  s
) )
6261ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  /\  s  e.  ~P X )  ->  ( A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( f `  y
)  C_  s )
)
6362imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  y )  C_  s
)
64 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
f `  y )  =  ( f `  z ) )
6564sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( f `  y
)  C_  s  <->  ( f `  z )  C_  s
) )
6665cbvralv 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  y ) 
C_  s  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s )
6763, 66sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. z  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  s
)
68 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  s  e.  ~P X
)
6945ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )
70 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
t  e.  C  <->  s  e.  C ) )
71 pweq 3628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  s  ->  ~P t  =  ~P s
)
7271ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  ( ~P t  i^i  Fin )  =  ( ~P s  i^i  Fin ) )
73 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( f `  z )  C_  s
) )
7472, 73raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) )
7570, 74bibi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) ) )
7675rspcva 2882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  (
s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  s ) )
7768, 69, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  ( s  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  s )
)
7867, 77mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  ( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )  /\  s  e.  ~P X )  /\  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  s  e.  C )
7924, 78impbida 805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  /\  s  e.  ~P X )  ->  (
s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )
8079ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) )
8180ex 423 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( (
f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( f `
 z )  C_  t ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
8281exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
8319mrcf 13511 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> C )
84 fss 5397 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ~P X --> C  /\  C  C_  ~P X )  ->  F : ~P X --> ~P X
)
8583, 42, 84syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  F : ~P X --> ~P X )
86 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  (mrCls `  C )  e.  _V
8719, 86eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  F  e. 
_V
88 feq1 5375 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f : ~P X --> ~P X  <->  F : ~P X --> ~P X ) )
89 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  z )  =  ( F `  z ) )
9089sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  z
)  C_  t  <->  ( F `  z )  C_  t
) )
9190ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 z )  C_  t ) )
92 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
9392sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  C_  t  <->  ( F `  y )  C_  t
) )
9493cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( F `  z ) 
C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t )
9591, 94syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  ( A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t ) )
9695bibi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )  <->  ( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  t ) ) )
9796ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  ( A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
)  <->  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  t
) ) )
98 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
( F `  y
)  C_  t  <->  ( F `  y )  C_  s
) )
9972, 98raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  s  ->  ( A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )
10070, 99bibi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  s  ->  (
( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t )  <->  ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
101100cbvralv 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  t )  <->  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
)
10297, 101syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
)  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
10388, 102anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
)  <->  ( F : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
) ) )
10487, 103spcev 2875 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ~P X --> ~P X  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) )  ->  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) )
10585, 104sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ~P X
--> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X
( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin )
( f `  z
)  C_  t )
) )
106105ex 423 . . . . 5  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )  ->  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) ) ) )
10782, 106impbid 183 . . . 4  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  A. z  e.  ( ~P t  i^i  Fin ) ( f `  z )  C_  t
) )  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
10811, 107syl5bb 248 . . 3  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) )  <->  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ( F `
 y )  C_  s ) ) )
109108pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  E. f ( f : ~P X --> ~P X  /\  A. t  e.  ~P  X ( t  e.  C  <->  U. ( f "
( ~P t  i^i 
Fin ) )  C_  t ) ) )  <-> 
( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X
( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
( F `  y
)  C_  s )
) )
1101, 109bitri 240 1  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  <->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( s  e.  C  <->  A. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ( F `  y )  C_  s
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   U_ciun 3905   "cima 4692   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255   Fincfn 6863  Moorecmre 13484  mrClscmrc 13485  ACScacs 13487
This theorem is referenced by:  acsfiel  13556  isacs5  14275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491
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