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Theorem isacs3lem 14285
Description: An algebraic closure system satisfies isacs3 14293. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacs3lem  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
Distinct variable groups:    C, s    X, s

Proof of Theorem isacs3lem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmre 13570 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
2 mresspw 13510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
31, 2syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  C  C_  ~P X )
4 sspwb 4239 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  ~P X  <->  ~P C  C_ 
~P ~P X )
53, 4sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ~P C  C_ 
~P ~P X )
65sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  e.  ~P ~P X )
7 elpwi 3646 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P ~P X  ->  s  C_  ~P X
)
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  C_  ~P X
)
9 sspwuni 4003 . . . . . . 7  |-  ( s 
C_  ~P X  <->  U. s  C_  X )
108, 9sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  ->  U. s  C_  X )
1110adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  U. s  C_  X )
12 inss1 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P
U. s  i^i  Fin )  C_  ~P U. s
1312sseli 3189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P U. s
)
14 elpwi 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P U. s  ->  x  C_  U. s
)
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  x  C_  U. s )
16 inss2 3403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P
U. s  i^i  Fin )  C_  Fin
1716sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
18 fissuni 7176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  U. s  /\  x  e.  Fin )  ->  E. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) x  C_  U. y
)
1915, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )  ->  E. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
x  C_  U. y
)
2019ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) ) )  ->  E. y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) x  C_  U. y
)
211ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  C  e.  (Moore `  X ) )
22 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  x  C_  U. y
)
23 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
~P s
2423sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  ~P s )
25 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ~P s  -> 
y  C_  s )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  C_  s )
27 uniss 3864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  s  ->  U. y  C_ 
U. s )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  U. y  C_ 
U. s )
2928ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  U. y  C_  U. s
)
3010ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  U. s  C_  X
)
3129, 30sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  U. y  C_  X
)
32 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mrCls `  C )  =  (mrCls `  C )
3332mrcss 13534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  x  C_ 
U. y  /\  U. y  C_  X )  -> 
( (mrCls `  C
) `  x )  C_  ( (mrCls `  C
) `  U. y ) )
3421, 22, 31, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  ( (mrCls `  C ) `  U. y ) )
35 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  (toInc `  s )  e. Dirset )
3626adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  s )
37 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3837sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
3938adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
40 ipodrsfi 14282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  C_  s  /\  y  e.  Fin )  ->  E. x  e.  s 
U. y  C_  x
)
4135, 36, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )  ->  E. x  e.  s  U. y  C_  x )
4241adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )  ->  E. x  e.  s 
U. y  C_  x
)
431ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  C  e.  (Moore `  X )
)
44 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  U. y  C_  x )
45 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  e.  ~P C  -> 
s  C_  C )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
s  C_  C )
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  s  C_  C )
48 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  x  e.  s )
4947, 48sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  x  e.  C )
5032mrcsscl 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  U. y  C_  x  /\  x  e.  C )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  x )
5143, 44, 49, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  x )
52 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  s  ->  x  C_ 
U. s )
5352ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  x  C_ 
U. s )
5451, 53sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) ) )  /\  ( x  e.  s  /\  U. y  C_  x
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s )
5554exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )  ->  ( x  e.  s  ->  ( U. y  C_  x  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s ) ) )
5655rexlimdv 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )  ->  ( E. x  e.  s  U. y  C_  x  ->  ( (mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s
) )
5742, 56mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s
)
5857anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  /\  y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )
)  ->  ( (mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s
)
5958adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  /\  x  C_  U. y
) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s )
6059adantlrr 701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  U. y )  C_  U. s
)
6134, 60sstrd 3202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (
(toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ) )  /\  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  /\  x  C_ 
U. y ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
)
6261exp32 588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) ) )  ->  ( y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  ->  (
x  C_  U. y  ->  ( (mrCls `  C
) `  x )  C_ 
U. s ) ) )
6362rexlimdv 2679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) ) )  ->  ( E. y  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) x  C_  U. y  ->  ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
) )
6420, 63mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  ( (toInc `  s )  e. Dirset  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) ) )  ->  ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
)
6564anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  /\  (toInc `  s )  e. Dirset )  /\  x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin ) )  ->  (
(mrCls `  C ) `  x )  C_  U. s
)
6665ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  A. x  e.  ( ~P
U. s  i^i  Fin ) ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
)
6732acsfiel 13572 . . . . . 6  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( U. s  e.  C  <->  ( U. s  C_  X  /\  A. x  e.  ( ~P U. s  i^i  Fin )
( (mrCls `  C
) `  x )  C_ 
U. s ) ) )
6867ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  ( U. s  e.  C  <->  ( U. s  C_  X  /\  A. x  e.  ( ~P U. s  i^i 
Fin ) ( (mrCls `  C ) `  x
)  C_  U. s
) ) )
6911, 66, 68mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (ACS
`  X )  /\  s  e.  ~P C
)  /\  (toInc `  s
)  e. Dirset )  ->  U. s  e.  C )
7069ex 423 . . 3  |-  ( ( C  e.  (ACS `  X )  /\  s  e.  ~P C )  -> 
( (toInc `  s
)  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )
7170ralrimiva 2639 . 2  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) )
721, 71jca 518 1  |-  ( C  e.  (ACS `  X
)  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  C ( (toInc `  s )  e. Dirset  ->  U. s  e.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Fincfn 6879  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  ACScacs 13503  Dirsetcdrs 14077  toInccipo 14270
This theorem is referenced by:  acsdrsel  14286  acsdrscl  14289  acsficl  14290  isacs5  14291  isacs4  14292  isacs3  14293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ocomp 13245  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-preset 14078  df-drs 14079  df-poset 14096  df-ipo 14271
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