Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs4lem Unicode version

Theorem isacs4lem 14287
 Description: In a closure system in which directed unions of closed sets are closed, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f mrCls
Assertion
Ref Expression
isacs4lem Moore toInc Dirset Moore toInc Dirset
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem isacs4lem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . . . 7 Moore toInc Dirset toInc Dirset Moore
2 elpwi 3646 . . . . . . . 8
32ad2antrl 708 . . . . . . 7 Moore toInc Dirset toInc Dirset
4 acsdrscl.f . . . . . . . 8 mrCls
54mrcuni 13539 . . . . . . 7 Moore
61, 3, 5syl2anc 642 . . . . . 6 Moore toInc Dirset toInc Dirset
74mrcf 13527 . . . . . . . . . . . 12 Moore
8 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12
97, 8syl 15 . . . . . . . . . . 11 Moore
109adantr 451 . . . . . . . . . 10 Moore toInc Dirset
11 simpll 730 . . . . . . . . . . 11 Moore toInc Dirset Moore
12 simprl 732 . . . . . . . . . . 11 Moore toInc Dirset
13 simprr 733 . . . . . . . . . . 11 Moore toInc Dirset
144mrcss 13534 . . . . . . . . . . 11 Moore
1511, 12, 13, 14syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10 Moore toInc Dirset
16 simprr 733 . . . . . . . . . 10 Moore toInc Dirset toInc Dirset
172ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10 Moore toInc Dirset
18 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12 mrCls
194, 18eqeltri 2366 . . . . . . . . . . 11
20 imaexg 5042 . . . . . . . . . . 11
2119, 20mp1i 11 . . . . . . . . . 10 Moore toInc Dirset
2210, 15, 16, 17, 21ipodrsima 14284 . . . . . . . . 9 Moore toInc Dirset toInc Dirset
2322adantlr 695 . . . . . . . 8 Moore toInc Dirset toInc Dirset toInc Dirset
24 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . 12
25 frn 5411 . . . . . . . . . . . . 13
267, 25syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Moore
2724, 26syl5ss 3203 . . . . . . . . . . 11 Moore
2819, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
2928elpw 3644 . . . . . . . . . . 11
3027, 29sylibr 203 . . . . . . . . . 10 Moore
3130ad2antrr 706 . . . . . . . . 9 Moore toInc Dirset toInc Dirset
32 simplr 731 . . . . . . . . 9 Moore toInc Dirset toInc Dirset toInc Dirset
33 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12 toInc toInc
3433eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11 toInc Dirset toInc Dirset
35 unieq 3852 . . . . . . . . . . . 12
3635eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11
3734, 36imbi12d 311 . . . . . . . . . 10 toInc Dirset toInc Dirset
3837rspcva 2895 . . . . . . . . 9 toInc Dirset toInc Dirset
3931, 32, 38syl2anc 642 . . . . . . . 8 Moore toInc Dirset toInc Dirset toInc Dirset
4023, 39mpd 14 . . . . . . 7 Moore toInc Dirset toInc Dirset
414mrcid 13531 . . . . . . 7 Moore
421, 40, 41syl2anc 642 . . . . . 6 Moore toInc Dirset toInc Dirset
436, 42eqtrd 2328 . . . . 5 Moore toInc Dirset toInc Dirset
4443exp32 588 . . . 4 Moore toInc Dirset toInc Dirset
4544ralrimiv 2638 . . 3 Moore toInc Dirset toInc Dirset
4645ex 423 . 2 Moore toInc Dirset toInc Dirset
4746imdistani 671 1 Moore toInc Dirset Moore toInc Dirset
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801   wss 3165  cpw 3638  cuni 3843   crn 4706  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  Dirsetcdrs 14077  toInccipo 14270 This theorem is referenced by:  acsdrscl  14289  acsficl  14290  isacs5  14291  isacs4  14292  isacs3  14293 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ocomp 13245  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-preset 14078  df-drs 14079  df-poset 14096  df-ipo 14271
 Copyright terms: Public domain W3C validator