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Theorem isacs5lem 14288
Description: If closure commutes with directed unions, then the closure of a set is the closure of its finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f  |-  F  =  (mrCls `  C )
Assertion
Ref Expression
isacs5lem  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
Distinct variable groups:    C, s,
t    F, s, t    X, s, t

Proof of Theorem isacs5lem
StepHypRef Expression
1 unifpw 7174 . . . . . 6  |-  U. ( ~P s  i^i  Fin )  =  s
21fveq2i 5544 . . . . 5  |-  ( F `
 U. ( ~P s  i^i  Fin )
)  =  ( F `
 s )
3 vex 2804 . . . . . . 7  |-  s  e. 
_V
4 fpwipodrs 14283 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  _V  ->  (toInc `  ( ~P s  i^i 
Fin ) )  e. Dirset
)
53, 4mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
(toInc `  ( ~P s  i^i  Fin ) )  e. Dirset )
6 inss1 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  C_ 
~P s
7 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  ~P X  -> 
s  C_  X )
8 sspwb 4239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s 
C_  X  <->  ~P s  C_ 
~P X )
97, 8sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ~P X  ->  ~P s  C_  ~P X
)
109adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  ->  ~P s  C_  ~P X
)
116, 10syl5ss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  -> 
( ~P s  i^i 
Fin )  C_  ~P X )
123pwex 4209 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P s  e.  _V
1312inex1 4171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P s  i^i  Fin )  e.  _V
1413elpw 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P s  i^i  Fin )  e.  ~P ~P X 
<->  ( ~P s  i^i 
Fin )  C_  ~P X )
1511, 14sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  s  e.  ~P X )  -> 
( ~P s  i^i 
Fin )  e.  ~P ~P X )
1615adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( ~P s  i^i 
Fin )  e.  ~P ~P X )
17 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  ->  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t
)  =  U. ( F " t ) ) )
18 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (toInc `  t )  =  (toInc `  ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
1918eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (
(toInc `  t )  e. Dirset  <-> 
(toInc `  ( ~P s  i^i  Fin ) )  e. Dirset ) )
20 unieq 3852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  U. t  =  U. ( ~P s  i^i  Fin ) )
2120fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  ( F `  U. t )  =  ( F `  U. ( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
22 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  ( F " t )  =  ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) )
2322unieqd 3854 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  U. ( F " t )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
2421, 23eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (
( F `  U. t )  =  U. ( F " t )  <-> 
( F `  U. ( ~P s  i^i  Fin ) )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
2519, 24imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( ~P s  i^i  Fin )  ->  (
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) )  <-> 
( (toInc `  ( ~P s  i^i  Fin )
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. ( ~P s  i^i  Fin )
)  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) ) ) ) )
2625rspcva 2895 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ~P s  i^i 
Fin )  e.  ~P ~P X  /\  A. t  e.  ~P  ~P X ( (toInc `  t )  e. Dirset  ->  ( F `  U. t )  =  U. ( F " t ) ) )  ->  (
(toInc `  ( ~P s  i^i  Fin ) )  e. Dirset  ->  ( F `  U. ( ~P s  i^i 
Fin ) )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) ) )
2716, 17, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( (toInc `  ( ~P s  i^i  Fin )
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. ( ~P s  i^i  Fin )
)  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) ) ) )
285, 27mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( F `  U. ( ~P s  i^i  Fin ) )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) )
292, 28syl5eqr 2342 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  /\  s  e. 
~P X )  -> 
( F `  s
)  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin ) ) )
3029ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( F `
 s )  = 
U. ( F "
( ~P s  i^i 
Fin ) ) )
3130ex 423 . 2  |-  ( C  e.  (Moore `  X
)  ->  ( A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) )  ->  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
3231imdistani 671 1  |-  ( ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. t  e.  ~P  ~P X
( (toInc `  t
)  e. Dirset  ->  ( F `
 U. t )  =  U. ( F
" t ) ) )  ->  ( C  e.  (Moore `  X )  /\  A. s  e.  ~P  X ( F `  s )  =  U. ( F " ( ~P s  i^i  Fin )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   "cima 4708   ` cfv 5271   Fincfn 6879  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  Dirsetcdrs 14077  toInccipo 14270
This theorem is referenced by:  acsficl  14290  isacs5  14291  isacs4  14292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ocomp 13245  df-preset 14078  df-drs 14079  df-poset 14096  df-ipo 14271
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