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Theorem isass 21896
Description: The predicate "is an associative operation". (Contributed by FL, 1-Nov-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isass.1  |-  X  =  dom  dom  G
Assertion
Ref Expression
isass  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  Ass  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, G, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem isass
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmeq 5062 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  dom  g  =  dom  G )
21dmeqd 5064 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  dom  dom  g  =  dom  dom  G )
32eleq2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
x  e.  dom  dom  g 
<->  x  e.  dom  dom  G ) )
42eleq2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
y  e.  dom  dom  g 
<->  y  e.  dom  dom  G ) )
52eleq2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
z  e.  dom  dom  g 
<->  z  e.  dom  dom  G ) )
63, 4, 53anbi123d 1254 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e. 
dom  dom  g  /\  z  e.  dom  dom  g )  <->  ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G ) ) )
7 oveq 6079 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
x g y )  =  ( x G y ) )
87oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x G y ) g z ) )
9 oveq 6079 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( x G y ) g z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
108, 9eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( x g y ) g z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
11 oveq 6079 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
y g z )  =  ( y G z ) )
1211oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x g ( y G z ) ) )
13 oveq 6079 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y G z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
1412, 13eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
x g ( y g z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
1510, 14eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
166, 15imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( x  e. 
dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e.  dom  dom  g
)  ->  ( (
x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) )  <->  ( (
x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
1716albidv 1635 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z ( ( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e. 
dom  dom  g )  -> 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) )  <->  A. z ( ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
18172albidv 1637 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e. 
dom  dom  g )  -> 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
19 r3al 2755 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  dom  g A. y  e.  dom  dom  g A. z  e. 
dom  dom  g ( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  g  /\  y  e.  dom  dom  g  /\  z  e. 
dom  dom  g )  -> 
( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) ) )
20 r3al 2755 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  dom  dom  G  /\  y  e.  dom  dom 
G  /\  z  e.  dom  dom  G )  -> 
( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2118, 19, 203bitr4g 280 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  dom  dom  g A. y  e. 
dom  dom  g A. z  e.  dom  dom  g (
( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
22 isass.1 . . . . . 6  |-  X  =  dom  dom  G
2322eqcomi 2439 . . . . 5  |-  dom  dom  G  =  X
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  dom  dom 
G  =  X )
2524raleqdv 2902 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2624, 25raleqbidv 2908 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  dom  dom 
G A. y  e. 
dom  dom  G A. z  e.  dom  dom  G (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  dom  dom  G (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2724raleqdv 2902 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
28272ralbidv 2739 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2921, 26, 283bitrd 271 . 2  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  dom  dom  g A. y  e. 
dom  dom  g A. z  e.  dom  dom  g (
( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
30 df-ass 21893 . 2  |-  Ass  =  { g  |  A. x  e.  dom  dom  g A. y  e.  dom  dom  g A. z  e. 
dom  dom  g ( ( x g y ) g z )  =  ( x g ( y g z ) ) }
3129, 30elab2g 3076 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  Ass  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   dom cdm 4870  (class class class)co 6073   Asscass 21892
This theorem is referenced by:  issmgrp  21914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fv 5454  df-ov 6076  df-ass 21893
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