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Theorem isassa 16367
Description: The properties of an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isassa.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
isassa.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
isassa.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
isassa.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
isassa.t  |-  .X.  =  ( .r `  W )
Assertion
Ref Expression
isassa  |-  ( W  e. AssAlg 
<->  ( ( W  e. 
LMod  /\  W  e.  Ring  /\  F  e.  CRing )  /\  A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( r  .x.  x )  .X.  y
)  =  ( r 
.x.  ( x  .X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( r 
.x.  y ) )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, r,
y    B, r    F, r    V, r, x, y    .x. , r, x, y    .X. , r, x, y    W, r, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem isassa
Dummy variables  f  w  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5734 . . . . 5  |-  (Scalar `  w )  e.  _V
21a1i 11 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (Scalar `  w )  e.  _V )
3 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (Scalar `  w )  =  (Scalar `  W ) )
4 isassa.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
53, 4syl6eqr 2485 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (Scalar `  w )  =  F )
6 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  W  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
76eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( ( w  =  W  /\  f  =  F )  ->  ( f  e.  CRing  <->  F  e.  CRing ) )
86fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( ( w  =  W  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f
)  =  ( Base `  F ) )
9 isassa.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  F
)
108, 9syl6eqr 2485 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  W  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f
)  =  B )
11 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  W
) )
12 isassa.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
1311, 12syl6eqr 2485 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  V )
14 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .s
`  w )  e. 
_V
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  e. 
_V )
16 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  w )  e. 
_V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  -> 
( .r `  w
)  e.  _V )
18 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  t  =  ( .r `  w ) )
19 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  W  ->  ( .r `  w )  =  ( .r `  W
) )
2019ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  ( .r `  w )  =  ( .r `  W
) )
21 isassa.t . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .X.  =  ( .r `  W )
2220, 21syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  ( .r `  w )  = 
.X.  )
2318, 22eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  t  =  .X.  )
24 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  s  =  ( .s `  w ) )
25 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  =  ( .s `  W
) )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  ( .s `  w )  =  ( .s `  W
) )
27 isassa.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2826, 27syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
2924, 28eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  s  =  .x.  )
3029oveqd 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  (
r s x )  =  ( r  .x.  x ) )
31 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  y  =  y )
3223, 30, 31oveq123d 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  (
( r s x ) t y )  =  ( ( r 
.x.  x )  .X.  y ) )
33 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  r  =  r )
3423oveqd 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  (
x t y )  =  ( x  .X.  y ) )
3529, 33, 34oveq123d 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  (
r s ( x t y ) )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) ) )
3632, 35eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  (
( ( r s x ) t y )  =  ( r s ( x t y ) )  <->  ( (
r  .x.  x )  .X.  y )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) )
37 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  x  =  x )
3829oveqd 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  (
r s y )  =  ( r  .x.  y ) )
3923, 37, 38oveq123d 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  (
x t ( r s y ) )  =  ( x  .X.  ( r  .x.  y
) ) )
4039, 35eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  (
( x t ( r s y ) )  =  ( r s ( x t y ) )  <->  ( x  .X.  ( r  .x.  y
) )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) )
4136, 40anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  /\  t  =  ( .r `  w
) )  ->  (
( ( ( r s x ) t y )  =  ( r s ( x t y ) )  /\  ( x t ( r s y ) )  =  ( r s ( x t y ) ) )  <->  ( ( ( r  .x.  x ) 
.X.  y )  =  ( r  .x.  (
x  .X.  y )
)  /\  ( x  .X.  ( r  .x.  y
) )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) ) )
4217, 41sbcied 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  W  /\  s  =  ( .s `  w ) )  -> 
( [. ( .r `  w )  /  t ]. ( ( ( r s x ) t y )  =  ( r s ( x t y ) )  /\  ( x t ( r s y ) )  =  ( r s ( x t y ) ) )  <->  ( ( ( r  .x.  x ) 
.X.  y )  =  ( r  .x.  (
x  .X.  y )
)  /\  ( x  .X.  ( r  .x.  y
) )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) ) )
4315, 42sbcied 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( .s `  w
)  /  s ]. [. ( .r `  w
)  /  t ]. ( ( ( r s x ) t y )  =  ( r s ( x t y ) )  /\  ( x t ( r s y ) )  =  ( r s ( x t y ) ) )  <->  ( ( ( r  .x.  x ) 
.X.  y )  =  ( r  .x.  (
x  .X.  y )
)  /\  ( x  .X.  ( r  .x.  y
) )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) ) )
4413, 43raleqbidv 2908 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( A. y  e.  ( Base `  w ) [. ( .s `  w )  /  s ]. [. ( .r `  w )  / 
t ]. ( ( ( r s x ) t y )  =  ( r s ( x t y ) )  /\  ( x t ( r s y ) )  =  ( r s ( x t y ) ) )  <->  A. y  e.  V  ( (
( r  .x.  x
)  .X.  y )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) )  /\  ( x 
.X.  ( r  .x.  y ) )  =  ( r  .x.  (
x  .X.  y )
) ) ) )
4513, 44raleqbidv 2908 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( A. x  e.  ( Base `  w ) A. y  e.  ( Base `  w ) [. ( .s `  w )  / 
s ]. [. ( .r
`  w )  / 
t ]. ( ( ( r s x ) t y )  =  ( r s ( x t y ) )  /\  ( x t ( r s y ) )  =  ( r s ( x t y ) ) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( (
( r  .x.  x
)  .X.  y )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) )  /\  ( x 
.X.  ( r  .x.  y ) )  =  ( r  .x.  (
x  .X.  y )
) ) ) )
4645adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  W  /\  f  =  F )  ->  ( A. x  e.  ( Base `  w
) A. y  e.  ( Base `  w
) [. ( .s `  w )  /  s ]. [. ( .r `  w )  /  t ]. ( ( ( r s x ) t y )  =  ( r s ( x t y ) )  /\  ( x t ( r s y ) )  =  ( r s ( x t y ) ) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( r 
.x.  x )  .X.  y )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( r  .x.  y
) )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) ) )
4710, 46raleqbidv 2908 . . . . 5  |-  ( ( w  =  W  /\  f  =  F )  ->  ( A. r  e.  ( Base `  f
) A. x  e.  ( Base `  w
) A. y  e.  ( Base `  w
) [. ( .s `  w )  /  s ]. [. ( .r `  w )  /  t ]. ( ( ( r s x ) t y )  =  ( r s ( x t y ) )  /\  ( x t ( r s y ) )  =  ( r s ( x t y ) ) )  <->  A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( r 
.x.  x )  .X.  y )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( r  .x.  y
) )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) ) )
487, 47anbi12d 692 . . . 4  |-  ( ( w  =  W  /\  f  =  F )  ->  ( ( f  e. 
CRing  /\  A. r  e.  ( Base `  f
) A. x  e.  ( Base `  w
) A. y  e.  ( Base `  w
) [. ( .s `  w )  /  s ]. [. ( .r `  w )  /  t ]. ( ( ( r s x ) t y )  =  ( r s ( x t y ) )  /\  ( x t ( r s y ) )  =  ( r s ( x t y ) ) ) )  <->  ( F  e.  CRing  /\  A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( (
( r  .x.  x
)  .X.  y )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) )  /\  ( x 
.X.  ( r  .x.  y ) )  =  ( r  .x.  (
x  .X.  y )
) ) ) ) )
492, 5, 48sbcied2 3190 . . 3  |-  ( w  =  W  ->  ( [. (Scalar `  w )  /  f ]. (
f  e.  CRing  /\  A. r  e.  ( Base `  f ) A. x  e.  ( Base `  w
) A. y  e.  ( Base `  w
) [. ( .s `  w )  /  s ]. [. ( .r `  w )  /  t ]. ( ( ( r s x ) t y )  =  ( r s ( x t y ) )  /\  ( x t ( r s y ) )  =  ( r s ( x t y ) ) ) )  <->  ( F  e.  CRing  /\  A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( (
( r  .x.  x
)  .X.  y )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) )  /\  ( x 
.X.  ( r  .x.  y ) )  =  ( r  .x.  (
x  .X.  y )
) ) ) ) )
50 df-assa 16364 . . 3  |- AssAlg  =  {
w  e.  ( LMod 
i^i  Ring )  |  [. (Scalar `  w )  / 
f ]. ( f  e. 
CRing  /\  A. r  e.  ( Base `  f
) A. x  e.  ( Base `  w
) A. y  e.  ( Base `  w
) [. ( .s `  w )  /  s ]. [. ( .r `  w )  /  t ]. ( ( ( r s x ) t y )  =  ( r s ( x t y ) )  /\  ( x t ( r s y ) )  =  ( r s ( x t y ) ) ) ) }
5149, 50elrab2 3086 . 2  |-  ( W  e. AssAlg 
<->  ( W  e.  (
LMod  i^i  Ring )  /\  ( F  e.  CRing  /\  A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( r  .x.  x )  .X.  y
)  =  ( r 
.x.  ( x  .X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( r 
.x.  y ) )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) ) ) ) ) )
52 anass 631 . 2  |-  ( ( ( W  e.  (
LMod  i^i  Ring )  /\  F  e.  CRing )  /\  A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( r  .x.  x )  .X.  y
)  =  ( r 
.x.  ( x  .X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( r 
.x.  y ) )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) ) ) )  <->  ( W  e.  ( LMod  i^i  Ring )  /\  ( F  e.  CRing  /\ 
A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( r 
.x.  x )  .X.  y )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( r  .x.  y
) )  =  ( r  .x.  ( x 
.X.  y ) ) ) ) ) )
53 elin 3522 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( LMod  i^i  Ring )  <->  ( W  e. 
LMod  /\  W  e.  Ring ) )
5453anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( W  e.  ( LMod 
i^i  Ring )  /\  F  e.  CRing )  <->  ( ( W  e.  LMod  /\  W  e.  Ring )  /\  F  e.  CRing ) )
55 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  W  e.  Ring  /\  F  e.  CRing
)  <->  ( ( W  e.  LMod  /\  W  e. 
Ring )  /\  F  e.  CRing ) )
5654, 55bitr4i 244 . . 3  |-  ( ( W  e.  ( LMod 
i^i  Ring )  /\  F  e.  CRing )  <->  ( W  e.  LMod  /\  W  e.  Ring  /\  F  e.  CRing ) )
5756anbi1i 677 . 2  |-  ( ( ( W  e.  (
LMod  i^i  Ring )  /\  F  e.  CRing )  /\  A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( r  .x.  x )  .X.  y
)  =  ( r 
.x.  ( x  .X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( r 
.x.  y ) )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) ) ) )  <->  ( ( W  e.  LMod  /\  W  e.  Ring  /\  F  e.  CRing
)  /\  A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( (
( r  .x.  x
)  .X.  y )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) )  /\  ( x 
.X.  ( r  .x.  y ) )  =  ( r  .x.  (
x  .X.  y )
) ) ) )
5851, 52, 573bitr2i 265 1  |-  ( W  e. AssAlg 
<->  ( ( W  e. 
LMod  /\  W  e.  Ring  /\  F  e.  CRing )  /\  A. r  e.  B  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( r  .x.  x )  .X.  y
)  =  ( r 
.x.  ( x  .X.  y ) )  /\  ( x  .X.  ( r 
.x.  y ) )  =  ( r  .x.  ( x  .X.  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   [.wsbc 3153    i^i cin 3311   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   LModclmod 15942  AssAlgcasa 16361
This theorem is referenced by:  assalem  16368  assalmod  16371  assarng  16372  assasca  16373  isassad  16374  assapropd  16378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-nul 4330
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-iota 5410  df-fv 5454  df-ov 6076  df-assa 16364
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