Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isassad Structured version   Unicode version

 Description: Sufficient condition for being an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   ()

StepHypRef Expression
3 isassad.f . . . 4 Scalar
4 isassad.3 . . . 4
53, 4eqeltrrd 2510 . . 3 Scalar
61, 2, 53jca 1134 . 2 Scalar
7 isassad.4 . . . . 5
8 isassad.5 . . . . 5
97, 8jca 519 . . . 4
109ralrimivvva 2791 . . 3
11 isassad.b . . . . 5
123fveq2d 5724 . . . . 5 Scalar
1311, 12eqtrd 2467 . . . 4 Scalar
14 isassad.v . . . . 5
15 isassad.t . . . . . . . . 9
16 isassad.s . . . . . . . . . 10
1716oveqd 6090 . . . . . . . . 9
18 eqidd 2436 . . . . . . . . 9
1915, 17, 18oveq123d 6094 . . . . . . . 8
20 eqidd 2436 . . . . . . . . 9
2115oveqd 6090 . . . . . . . . 9
2216, 20, 21oveq123d 6094 . . . . . . . 8
2319, 22eqeq12d 2449 . . . . . . 7
24 eqidd 2436 . . . . . . . . 9
2516oveqd 6090 . . . . . . . . 9
2615, 24, 25oveq123d 6094 . . . . . . . 8
2726, 22eqeq12d 2449 . . . . . . 7
2823, 27anbi12d 692 . . . . . 6
2914, 28raleqbidv 2908 . . . . 5
3014, 29raleqbidv 2908 . . . 4
3113, 30raleqbidv 2908 . . 3 Scalar
3210, 31mpbid 202 . 2 Scalar
33 eqid 2435 . . 3
34 eqid 2435 . . 3 Scalar Scalar
35 eqid 2435 . . 3 Scalar Scalar
36 eqid 2435 . . 3
37 eqid 2435 . . 3
3833, 34, 35, 36, 37isassa 16365 . 2 AssAlg Scalar Scalar
396, 32, 38sylanbrc 646 1 AssAlg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13459  cmulr 13520  Scalarcsca 13522  cvsca 13523  crg 15650  ccrg 15651  clmod 15940  AssAlgcasa 16359 This theorem is referenced by:  issubassa  16373  sraassa  16374  psrassa  16467  zlmassa  16795  matassa  27413  mendassa  27434 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-nul 4330 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-iota 5410  df-fv 5454  df-ov 6076  df-assa 16362
 Copyright terms: Public domain W3C validator