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Theorem isbasis2g 17005
Description: Express the predicate " B is a basis for a topology." (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
isbasis2g  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, B
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis2g
StepHypRef Expression
1 isbasisg 17004 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2 dfss3 3330 . . . 4  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) z  e.  U. ( B  i^i  ~P (
x  i^i  y )
) )
3 elin 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( w  e.  B  /\  w  e.  ~P ( x  i^i  y ) ) )
4 df-pw 3793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P (
x  i^i  y )  =  { w  |  w 
C_  ( x  i^i  y ) }
54abeq2i 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~P ( x  i^i  y )  <->  w  C_  (
x  i^i  y )
)
65anbi2i 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  B  /\  w  e.  ~P (
x  i^i  y )
)  <->  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
73, 6bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
87anbi2i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )  <-> 
( z  e.  w  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
9 an12 773 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  w  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )  <->  ( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
108, 9bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )  <-> 
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
1110exbii 1592 . . . . . 6  |-  ( E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )  <->  E. w
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
12 eluni 4010 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  E. w ( z  e.  w  /\  w  e.  ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
13 df-rex 2703 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  E. w
( w  e.  B  /\  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
1411, 12, 133bitr4i 269 . . . . 5  |-  ( z  e.  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  <->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
1514ralbii 2721 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( x  i^i  y ) z  e. 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
162, 15bitri 241 . . 3  |-  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
17162ralbii 2723 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( B  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
181, 17syl6bb 253 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   TopBasesctb 16954
This theorem is referenced by:  isbasis3g  17006  basis2  17008  fiinbas  17009  tgclb  17027  topbas  17029  restbas  17214  txbas  17591  blbas  18452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-v 2950  df-in 3319  df-ss 3326  df-pw 3793  df-uni 4008  df-bases 16957
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