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Theorem isbasis3g 16703
Description: Express the predicate " B is a basis for a topology." Definition of basis in [Munkres] p. 78. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
isbasis3g  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  ( A. x  e.  B  x  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, B
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w)

Proof of Theorem isbasis3g
StepHypRef Expression
1 isbasis2g 16702 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
2 elssuni 3871 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  x  C_ 
U. B )
32rgen 2621 . . . . 5  |-  A. x  e.  B  x  C_  U. B
4 eluni2 3847 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y  e.  B  x  e.  y )
54biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  ->  E. y  e.  B  x  e.  y )
65rgen 2621 . . . . 5  |-  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y
73, 6pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  x  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y )
87biantrur 492 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  ( ( A. x  e.  B  x  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
9 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  B  x  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )  <->  ( ( A. x  e.  B  x  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
108, 9bitr4i 243 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  ( A. x  e.  B  x  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
111, 10syl6bb 252 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( B  e.  TopBases  <->  ( A. x  e.  B  x  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. B E. y  e.  B  x  e.  y  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   TopBasesctb 16651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3640  df-uni 3844  df-bases 16654
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