Theorem isblo 8438

Description: The predicate "is a bounded linear operator."

Hypotheses

Ref	Expression
bloval.3	|- N = (UnormOpW)
bloval.4	|- L = (U LnOp W)
bloval.5	|- B = (U BLnOp W)

Assertion

Ref	Expression
isblo	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ (N` T) < +oo)))

Proof of Theorem isblo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bloval.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
2		bloval.4	. . . 4 |- L = (U LnOp W)
3		bloval.5	. . . 4 |- B = (U BLnOp W)
4	1, 2, 3	bloval 8437	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> B = {t e. L | (N` t) < +oo})
5	4	eleq2d 1544	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> T e. {t e. L | (N` t) < +oo}))
6		fveq2 3730	. . . 4 |- (t = T -> (N` t) = (N` T))
7	6	breq1d 2634	. . 3 |- (t = T -> ((N` t) < +oo <-> (N` T) < +oo))
8	7	elrab 1908	. 2 |- (T e. {t e. L | (N` t) < +oo} <-> (T e. L /\ (N` T) < +oo))
9	5, 8	syl6bb 538	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ (N` T) < +oo)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969   +oocpnf 5495   < clt 5498  NrmCVeccnv 8199   LnOp clno 8397  normOpcnmo 8398   BLnOp cblo 8399

This theorem is referenced by:  isblo2 8439  bloln 8440  nmblore 8442  isblo3i 8457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-blo 8403

Copyright terms: Public domain