Theorem isblo3i 8405

Description: The predicate "is a bounded linear operator." Definition 2.7-1 of [Kreyszig] p. 91.

Hypotheses

Ref	Expression
isblo3i.1	|- X = (Base` U)
isblo3i.m	|- M = (norm` U)
isblo3i.n	|- N = (norm` W)
isblo3i.4	|- L = (U LnOp W)
isblo3i.5	|- B = (U BLnOp W)
isblo3i.u	|- U e. NrmCVec
isblo3i.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
isblo3i	|- (T e. B <-> (T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,L   x,M,y   x,N,y   x,T,y   x,U,y   x,W,y   x,X,y

Proof of Theorem isblo3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isblo3i.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
2		isblo3i.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
3		isblo3i.4	. . . . 5 |- L = (U LnOp W)
4		isblo3i.5	. . . . 5 |- B = (U BLnOp W)
5	3, 4	bloln 8389	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B) -> T e. L)
6	1, 2, 5	mp3an12 904	. . 3 |- (T e. B -> T e. L)
7		opreq1 3959	. . . . . . 7 |- (x = ((UnormOpW)` T) -> (x x. (M` y)) = (((UnormOpW)` T) x. (M` y)))
8	7	breq2d 2625	. . . . . 6 |- (x = ((UnormOpW)` T) -> ((N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) <-> (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y))))
9	8	ralbidv 1660	. . . . 5 |- (x = ((UnormOpW)` T) -> (A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) <-> A.y e. X (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y))))
10	9	rcla4ev 1873	. . . 4 |- ((((UnormOpW)` T) e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y))) -> E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)))
11		isblo3i.1	. . . . . 6 |- X = (Base` U)
12		eqid 1473	. . . . . 6 |- (Base` W) = (Base` W)
13		eqid 1473	. . . . . 6 |- (UnormOpW) = (UnormOpW)
14	11, 12, 13, 4	nmblore 8391	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. B) -> ((UnormOpW)` T) e. RR)
15	1, 2, 14	mp3an12 904	. . . 4 |- (T e. B -> ((UnormOpW)` T) e. RR)
16		isblo3i.m	. . . . . 6 |- M = (norm` U)
17		isblo3i.n	. . . . . 6 |- N = (norm` W)
18	11, 16, 17, 13, 4, 1, 2	nmblolbi 8404	. . . . 5 |- ((T e. B /\ y e. X) -> (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y)))
19	18	r19.21aiva 1711	. . . 4 |- (T e. B -> A.y e. X (N` (T` y)) <_ (((UnormOpW)` T) x. (M` y)))
20	10, 15, 19	sylanc 471	. . 3 |- (T e. B -> E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)))
21	6, 20	jca 288	. 2 |- (T e. B -> (T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))))
22		3simp1 787	. . . . . . 7 |- ((T e. L /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> T e. L)
23	11, 12, 16, 17, 13, 1, 2	nmoub3i 8381	. . . . . . . . 9 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) <_ (abs` x))
24		recnt 5293	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> x e. CC)
25		absclt 6776	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. CC -> (abs` x) e. RR)
26	24, 25	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> (abs` x) e. RR)
27		ltpnft 5523	. . . . . . . . . . 11 |- ((abs` x) e. RR -> (abs` x) < +oo)
28	26, 27	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (abs` x) < +oo)
29	28	3ad2ant2 800	. . . . . . . . 9 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> (abs` x) < +oo)
30		xrlelttrt 5543	. . . . . . . . . 10 |- ((((UnormOpW)` T) e. RR* /\ (abs` x) e. RR* /\ +oo e. RR*) -> ((((UnormOpW)` T) <_ (abs` x) /\ (abs` x) < +oo) -> ((UnormOpW)` T) < +oo))
31	11, 12, 13	nmoxr 8374	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->(Base` W)) -> ((UnormOpW)` T) e. RR*)
32	1, 2, 31	mp3an12 904	. . . . . . . . . . 11 |- (T:X-->(Base` W) -> ((UnormOpW)` T) e. RR*)
33	32	3ad2ant1 799	. . . . . . . . . 10 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) e. RR*)
34		rexrt 5479	. . . . . . . . . . . 12 |- ((abs` x) e. RR -> (abs` x) e. RR*)
35	26, 34	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> (abs` x) e. RR*)
36	35	3ad2ant2 800	. . . . . . . . . 10 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> (abs` x) e. RR*)
37		pnfxr 5473	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e. RR*
38	37	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> +oo e. RR*)
39	30, 33, 36, 38	syl3anc 857	. . . . . . . . 9 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((((UnormOpW)` T) <_ (abs` x) /\ (abs` x) < +oo) -> ((UnormOpW)` T) < +oo))
40	23, 29, 39	mp2and 702	. . . . . . . 8 |- ((T:X-->(Base` W) /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) < +oo)
41	11, 12, 3	lnof 8363	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->(Base` W))
42	1, 2, 41	mp3an12 904	. . . . . . . 8 |- (T e. L -> T:X-->(Base` W))
43	40, 42	syl3an1 858	. . . . . . 7 |- ((T e. L /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> ((UnormOpW)` T) < +oo)
44	22, 43	jca 288	. . . . . 6 |- ((T e. L /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> (T e. L /\ ((UnormOpW)` T) < +oo))
45	13, 3, 4	isblo 8387	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. B <-> (T e. L /\ ((UnormOpW)` T) < +oo)))
46	1, 2, 45	mp2an 696	. . . . . 6 |- (T e. B <-> (T e. L /\ ((UnormOpW)` T) < +oo))
47	44, 46	sylibr 200	. . . . 5 |- ((T e. L /\ x e. RR /\ A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> T e. B)
48	47	3exp 831	. . . 4 |- (T e. L -> (x e. RR -> (A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) -> T e. B)))
49	48	r19.23adv 1743	. . 3 |- (T e. L -> (E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y)) -> T e. B))
50	49	imp 350	. 2 |- ((T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))) -> T e. B)
51	21, 50	impbi 157	1 |- (T e. B <-> (T e. L /\ E.x e. RR A.y e. X (N` (T` y)) <_ (x x. (M` y))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643   class class class wbr 2614  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213   x. cmul 5219   <_ cle 5275   +oocpnf 5463  RR*cxr 5465   < clt 5466  abscabs 6689  NrmCVeccnv 8155  Basecba 8157  normcnm 8161   LnOp clno 8348  normOpcnmo 8349   BLnOp cblo 8350

This theorem is referenced by:  blo3i 8406  blocnilem 8408

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-nm 8171  df-lno 8352  df-nmo 8353  df-blo 8354  df-0o 8355

Copyright terms: Public domain