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Theorem isbnd2 26176
Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isbnd2  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
Distinct variable groups:    x, r, M    X, r, x

Proof of Theorem isbnd2
Dummy variables  s 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbndx 26175 . . 3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
21anbi1i 677 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  /\  X  =/=  (/) ) )
3 anass 631 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  /\  X  =/=  (/) ) ) )
4 r19.2z 3653 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  ->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )
54ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )
6 oveq1 6020 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) r ) )
76eqeq2d 2391 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) r ) ) )
8 oveq2 6021 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  s  ->  (
y ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) s ) )
98eqeq2d 2391 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) ) )
107, 9cbvrex2v 2877 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  <->  E. y  e.  X  E. s  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )
11 2rp 10542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
12 rpmulcl 10558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  s )  e.  RR+ )
1311, 12mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR+ )
1413ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
2  x.  s )  e.  RR+ )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR+ )
16 rpcn 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  CC )
17 2cn 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
19 2ne0 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  2  =/=  0 )
21 divcan3 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  s
)  /  2 )  =  s )
2221eqcomd 2385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  s  =  ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )
2316, 18, 20, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  =  ( ( 2  x.  s )  /  2
) )
2423oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( y ( ball `  M
) s )  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )
2524eqeq2d 2391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( X  =  ( y (
ball `  M )
s )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) ) )
2625biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( X  =  ( y (
ball `  M )
s )  ->  X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2726ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
s )  ->  X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2827adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M
) s )  ->  X  =  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2928imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  X  =  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) )
30 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) )  ->  X  =  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) )
31 eleq2 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) ) )
3231biimpac 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  X  =  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )  ->  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )
33 2re 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR
34 rpre 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
35 remulcl 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( 2  x.  s
)  e.  RR )
3633, 34, 35sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR )
37 blhalf 18327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( 2  x.  s
)  e.  RR  /\  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )  ->  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
3837expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
2  x.  s )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
3936, 38sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  s  e.  RR+ )  ->  (
x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
4039anasss 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
4140imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) )
4232, 41sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( x  e.  X  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4342anassrs 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) )  ->  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4430, 43eqsstrd 3318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) )  ->  X  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4529, 44syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  X  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4613adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( 2  x.  s
)  e.  RR+ )
47 rpxr 10544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  s )  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e. 
RR* )
48 blssm 18335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 2  x.  s
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
4947, 48syl3an3 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 2  x.  s
)  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
50493expa 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
2  x.  s )  e.  RR+ )  ->  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) )  C_  X )
5146, 50sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) )  C_  X
)
5251an32s 780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
5352adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) )  C_  X
)
5445, 53eqssd 3301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  X  =  ( x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
55 oveq2 6021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( 2  x.  s )  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) )
5655eqeq2d 2391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 2  x.  s )  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) ) )
5756rspcev 2988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  e.  RR+  /\  X  =  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )
5815, 54, 57syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x (
ball `  M )
r ) )
5958ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M
) s )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
6059ralrimdva 2732 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
s )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
6160rexlimdvva 2773 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. y  e.  X  E. s  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) s )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
6210, 61syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
63 rexn0 3666 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  X  =/=  (/) )
6463a1i 11 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  X  =/=  (/) ) )
6562, 64jcad 520 . . . 4  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) ) ) )
665, 65impbid2 196 . . 3  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
6766pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) ) )  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
682, 3, 673bitri 263 1  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916    x. cmul 8921   RR*cxr 9045    / cdiv 9602   2c2 9974   RR+crp 10537   * Metcxmt 16605   ballcbl 16607   Bndcbnd 26160
This theorem is referenced by:  isbnd3  26177  blbnd  26180  ssbnd  26181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-er 6834  df-ec 6836  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-2 9983  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-bnd 26172
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