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Theorem isbnd2 26507
Description: The predicate "is a bounded metric space". Uses a single point instead of an arbitrary point in the space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isbnd2  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
Distinct variable groups:    x, r, M    X, r, x

Proof of Theorem isbnd2
Dummy variables  s 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbndx 26506 . . 3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
21anbi1i 676 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  /\  X  =/=  (/) ) )
3 anass 630 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  /\  X  =/=  (/) ) ) )
4 r19.2z 3543 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  ->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) )
54ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )
6 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) r ) )
76eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) r ) ) )
8 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  s  ->  (
y ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) s ) )
98eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) ) )
107, 9cbvrex2v 2773 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  <->  E. y  e.  X  E. s  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) s ) )
11 2rp 10359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
12 rpmulcl 10375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  s  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  s )  e.  RR+ )
1311, 12mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR+ )
1413ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
2  x.  s )  e.  RR+ )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR+ )
16 rpcn 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  CC )
17 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  CC
1817a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
19 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  2  =/=  0 )
21 divcan3 9448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( s  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  s
)  /  2 )  =  s )
2221eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  s  =  ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )
2316, 18, 20, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  =  ( ( 2  x.  s )  /  2
) )
2423oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( y ( ball `  M
) s )  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) )
2524eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( X  =  ( y (
ball `  M )
s )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) ) )
2625biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( X  =  ( y (
ball `  M )
s )  ->  X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2726ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
s )  ->  X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M
) s )  ->  X  =  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )
2928imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  X  =  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) )
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) )  ->  X  =  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) )
31 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  =  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  ( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) ) )
3231biimpac 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  X  =  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )  ->  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )
33 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR
34 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  RR+  ->  s  e.  RR )
35 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( 2  x.  s
)  e.  RR )
3633, 34, 35sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e.  RR )
37 blhalf 17960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( 2  x.  s
)  e.  RR  /\  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) ) )  ->  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
3837expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
2  x.  s )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
3936, 38sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  s  e.  RR+ )  ->  (
x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
4039anasss 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  (
x  e.  ( y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) ) )
4140imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) ) )  -> 
( y ( ball `  M ) ( ( 2  x.  s )  /  2 ) ) 
C_  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) )
4232, 41sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  ( x  e.  X  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4342anassrs 629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) )  ->  ( y (
ball `  M )
( ( 2  x.  s )  /  2
) )  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4430, 43eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) ( ( 2  x.  s )  / 
2 ) ) )  ->  X  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4529, 44syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  X  C_  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
4613adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ )  -> 
( 2  x.  s
)  e.  RR+ )
47 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  s )  e.  RR+  ->  ( 2  x.  s )  e. 
RR* )
48 blssm 17968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 2  x.  s
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
4947, 48syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( 2  x.  s
)  e.  RR+ )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
50493expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
2  x.  s )  e.  RR+ )  ->  (
x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) )  C_  X )
5146, 50sylan2 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) )  C_  X
)
5251an32s 779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) 
C_  X )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) )  C_  X
)
5445, 53eqssd 3196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  X  =  ( x ( ball `  M
) ( 2  x.  s ) ) )
55 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( 2  x.  s )  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) )
5655eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 2  x.  s )  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( x ( ball `  M ) ( 2  x.  s ) ) ) )
5756rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  e.  RR+  /\  X  =  ( x (
ball `  M )
( 2  x.  s
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )
5815, 54, 57syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) s ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x (
ball `  M )
r ) )
5958ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M
) s )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
6059ralrimdva 2633 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( y  e.  X  /\  s  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
s )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
6160rexlimdvva 2674 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. y  e.  X  E. s  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) s )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
6210, 61syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) ) )
63 rexn0 3556 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  X  =/=  (/) )
6463a1i 10 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  X  =/=  (/) ) )
6562, 64jcad 519 . . . 4  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) ) ) )
665, 65impbid2 195 . . 3  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
6766pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r )  /\  X  =/=  (/) ) )  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
682, 3, 673bitri 262 1  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  E. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   Bndcbnd 26491
This theorem is referenced by:  isbnd3  26508  blbnd  26511  ssbnd  26512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-bnd 26503
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