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Theorem isbnd3 26611
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, X

Proof of Theorem isbnd3
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndmet 26608 . . 3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
2 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
3 ne0i 3474 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  RR  =/=  (/) )
42, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  RR  =/=  (/)
5 metf 17911 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
6 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  M  Fn  ( X  X.  X ) )
75, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  Fn  ( X  X.  X
) )
81, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M  Fn  ( X  X.  X
) )
98ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  M  Fn  ( X  X.  X ) )
10 0ss 3496 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  (
0 [,] x )
111, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
12 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
14 xpeq2 4720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  X.  X )  =  ( X  X.  (/) ) )
15 xp0 5114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  X.  (/) )  =  (/)
1614, 15syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  X.  X )  =  (/) )
1713, 16sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  ->  dom  M  =  (/) )
1817adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  dom  M  =  (/) )
19 dm0rn0 4911 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
M  =  (/)  <->  ran  M  =  (/) )
2018, 19sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  ran  M  =  (/) )
2120sseq1d 3218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ran  M  C_  ( 0 [,] x
)  <->  (/)  C_  ( 0 [,] x ) ) )
2210, 21mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  ran  M  C_  (
0 [,] x ) )
23 df-f 5275 . . . . . . 7  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  ( M  Fn  ( X  X.  X
)  /\  ran  M  C_  ( 0 [,] x
) ) )
249, 22, 23sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
2524ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  ->  A. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
26 r19.2z 3556 . . . . 5  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )
274, 25, 26sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
28 isbnd2 26610 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) r ) ) )
2928simprbi 450 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) r ) )
30 2re 9831 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
31 simprlr 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
3231rpred 10406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  r  e.  RR )
33 remulcl 8838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( 2  x.  r
)  e.  RR )
3430, 32, 33sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  ( 2  x.  r )  e.  RR )
357adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  M  Fn  ( X  X.  X
) )
36 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
37 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
38 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
39 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
x M z )  e.  RR )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  e.  RR )
41 metge0 17926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  0  <_  ( x M z ) )
4236, 37, 38, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x M z ) )
4334adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( 2  x.  r
)  e.  RR )
44 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  y  e.  X )
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
46 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
y M x )  e.  RR )
4736, 45, 37, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M x )  e.  RR )
48 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y M z )  e.  RR )
4936, 45, 38, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M z )  e.  RR )
5047, 49readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M x )  +  ( y M z ) )  e.  RR )
51 mettri2 17922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( x M z )  <_ 
( ( y M x )  +  ( y M z ) ) )
5236, 45, 37, 38, 51syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  <_  ( (
y M x )  +  ( y M z ) ) )
5332adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
r  e.  RR )
54 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  X  =  ( y
( ball `  M )
r ) )
5537, 54eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  ( y
( ball `  M )
r ) )
56 metxmet 17915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
5736, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
58 rpxr 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
5958ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) )  ->  r  e.  RR* )
6059ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
r  e.  RR* )
61 elbl2 17966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  r  e.  RR* )  /\  ( y  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( x  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M x )  < 
r ) )
6257, 60, 45, 37, 61syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M x )  < 
r ) )
6355, 62mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M x )  <  r )
6438, 54eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  ( y ( ball `  M
) r ) )
65 elbl2 17966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  r  e.  RR* )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M z )  < 
r ) )
6657, 60, 45, 38, 65syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M z )  < 
r ) )
6764, 66mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M z )  <  r )
6847, 49, 53, 53, 63, 67lt2addd 9410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M x )  +  ( y M z ) )  <  ( r  +  r ) )
6953recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
r  e.  CC )
70692timesd 9970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( 2  x.  r
)  =  ( r  +  r ) )
7168, 70breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M x )  +  ( y M z ) )  <  ( 2  x.  r ) )
7240, 50, 43, 52, 71lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  <  ( 2  x.  r ) )
7340, 43, 72ltled 8983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  <_  ( 2  x.  r ) )
74 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 2  x.  r
)  e.  RR )  ->  ( ( x M z )  e.  ( 0 [,] (
2  x.  r ) )  <->  ( ( x M z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( x M z )  /\  ( x M z )  <_ 
( 2  x.  r
) ) ) )
752, 43, 74sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x M z )  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  r ) )  <-> 
( ( x M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( x M z )  /\  ( x M z )  <_  ( 2  x.  r ) ) ) )
7640, 42, 73, 75mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  r ) ) )
7776ralrimivva 2648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( x M z )  e.  ( 0 [,] (
2  x.  r ) ) )
78 ffnov 5964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r ) )  <->  ( M  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( x M z )  e.  ( 0 [,] (
2  x.  r ) ) ) )
7935, 77, 78sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r
) ) )
80 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 2  x.  r )  ->  (
0 [,] x )  =  ( 0 [,] ( 2  x.  r
) ) )
81 feq3 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 [,] x )  =  ( 0 [,] ( 2  x.  r
) )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r
) ) ) )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( 2  x.  r )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r
) ) ) )
8382rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  r
)  e.  RR  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r ) ) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )
8434, 79, 83syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
8584expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
8685rexlimdvva 2687 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
871, 86syl 15 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
8887adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
8929, 88mpd 14 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
9027, 89pm2.61dane 2537 . . 3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
911, 90jca 518 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
92 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )  ->  M  e.  ( Met `  X
) )
93 simpllr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  RR )
9492adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
95 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
96 met0 17924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
y M y )  =  0 )
9794, 95, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y M y )  =  0 )
98 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )
99 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  /\  y  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( y M y )  e.  ( 0 [,] x
) )
10098, 95, 95, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y M y )  e.  ( 0 [,] x ) )
101 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M y )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M y )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M y )  /\  ( y M y )  <_  x )
) )
1022, 93, 101sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( ( y M y )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M y )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M y )  /\  ( y M y )  <_  x )
) )
103100, 102mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( ( y M y )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M y )  /\  ( y M y )  <_  x )
)
104103simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y M y )  <_  x )
10597, 104eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  x )
10693, 105ge0p1rpd 10432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR+ )
107 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) )
1081073expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  (
y M z )  e.  ( 0 [,] x ) )
109108adantlll 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) )
110 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x )
) )
1112, 93, 110sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x )
) )
112111adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( (
y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <->  ( (
y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x ) ) )
113109, 112mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( (
y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x ) )
114113simp1d 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  e.  RR )
11593adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  x  e.  RR )
116 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
11793, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
118117adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
119113simp3d 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  <_  x )
120115ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
121114, 115, 118, 119, 120lelttrd 8990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) )
122121ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( y M z )  <  ( x  +  1 ) )
123 rabid2 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) }  <->  A. z  e.  X  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) )
124122, 123sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  X  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  <  ( x  + 
1 ) } )
12594, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
126117rexrd 8897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR* )
127 blval 17964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( x  +  1 )  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) )  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) } )
128125, 95, 126, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) )  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) } )
129124, 128eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  X  =  ( y ( ball `  M
) ( x  + 
1 ) ) )
130 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) ) )
131130eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( x  + 
1 )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) ) ) )
132131rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR+  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
( x  +  1 ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r ) )
133106, 129, 132syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) )
134133ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )  ->  A. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) r ) )
135 isbnd 26607 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) r ) ) )
13692, 134, 135sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )  ->  M  e.  ( Bnd `  X
) )
137136ex 423 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) ) )
138137rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) ) )
139138imp 418 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
14091, 139impbii 180 1  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   2c2 9811   RR+crp 10370   [,]cicc 10675   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   ballcbl 16387   Bndcbnd 26594
This theorem is referenced by:  isbnd3b  26612  prdsbnd  26620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-bnd 26606
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