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Theorem isbnd3 26184
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
Distinct variable groups:    x, M    x, X

Proof of Theorem isbnd3
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndmet 26181 . . 3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
2 0re 9024 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
3 ne0i 3577 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  RR  =/=  (/) )
42, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  RR  =/=  (/)
5 metf 18269 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
6 ffn 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  M  Fn  ( X  X.  X ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  Fn  ( X  X.  X
) )
81, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M  Fn  ( X  X.  X
) )
98ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  M  Fn  ( X  X.  X ) )
101, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
11 fdm 5535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
13 xpeq2 4833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  X.  X )  =  ( X  X.  (/) ) )
14 xp0 5231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  X.  (/) )  =  (/)
1513, 14syl6eq 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X  X.  X )  =  (/) )
1612, 15sylan9eq 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  ->  dom  M  =  (/) )
1716adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  dom  M  =  (/) )
18 dm0rn0 5026 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
M  =  (/)  <->  ran  M  =  (/) )
1917, 18sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  ran  M  =  (/) )
20 0ss 3599 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  (
0 [,] x )
2119, 20syl6eqss 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  ran  M  C_  (
0 [,] x ) )
22 df-f 5398 . . . . . . 7  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  ( M  Fn  ( X  X.  X
)  /\  ran  M  C_  ( 0 [,] x
) ) )
239, 21, 22sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  /\  x  e.  RR )  ->  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
2423ralrimiva 2732 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  ->  A. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
25 r19.2z 3660 . . . . 5  |-  ( ( RR  =/=  (/)  /\  A. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )
264, 24, 25sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =  (/) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
27 isbnd2 26183 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) r ) ) )
2827simprbi 451 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) r ) )
29 2re 10001 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
30 simprlr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
3130rpred 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  r  e.  RR )
32 remulcl 9008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( 2  x.  r
)  e.  RR )
3329, 31, 32sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  ( 2  x.  r )  e.  RR )
347adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  M  Fn  ( X  X.  X
) )
35 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
36 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  X )
37 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
38 metcl 18271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
x M z )  e.  RR )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  e.  RR )
40 metge0 18284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  0  <_  ( x M z ) )
4135, 36, 37, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( x M z ) )
4233adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( 2  x.  r
)  e.  RR )
43 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  y  e.  X )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
y  e.  X )
45 metcl 18271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
y M x )  e.  RR )
4635, 44, 36, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M x )  e.  RR )
47 metcl 18271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y M z )  e.  RR )
4835, 44, 37, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M z )  e.  RR )
4946, 48readdcld 9048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M x )  +  ( y M z ) )  e.  RR )
50 mettri2 18280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  x  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( x M z )  <_ 
( ( y M x )  +  ( y M z ) ) )
5135, 44, 36, 37, 50syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  <_  ( (
y M x )  +  ( y M z ) ) )
5231adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
r  e.  RR )
53 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  X  =  ( y
( ball `  M )
r ) )
5436, 53eleqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  ( y
( ball `  M )
r ) )
55 metxmet 18273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
5635, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
57 rpxr 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
5857ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) )  ->  r  e.  RR* )
5958ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
r  e.  RR* )
60 elbl2 18324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  r  e.  RR* )  /\  ( y  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( x  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M x )  < 
r ) )
6156, 59, 44, 36, 60syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M x )  < 
r ) )
6254, 61mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M x )  <  r )
6337, 53eleqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
z  e.  ( y ( ball `  M
) r ) )
64 elbl2 18324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  r  e.  RR* )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M z )  < 
r ) )
6556, 59, 44, 37, 64syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( z  e.  ( y ( ball `  M
) r )  <->  ( y M z )  < 
r ) )
6663, 65mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M z )  <  r )
6746, 48, 52, 52, 62, 66lt2addd 9580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M x )  +  ( y M z ) )  <  ( r  +  r ) )
6852recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
r  e.  CC )
69682timesd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( 2  x.  r
)  =  ( r  +  r ) )
7067, 69breqtrrd 4179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M x )  +  ( y M z ) )  <  ( 2  x.  r ) )
7139, 49, 42, 51, 70lelttrd 9160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  <  ( 2  x.  r ) )
7239, 42, 71ltled 9153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  <_  ( 2  x.  r ) )
73 elicc2 10907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 2  x.  r
)  e.  RR )  ->  ( ( x M z )  e.  ( 0 [,] (
2  x.  r ) )  <->  ( ( x M z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( x M z )  /\  ( x M z )  <_ 
( 2  x.  r
) ) ) )
742, 42, 73sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x M z )  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  r ) )  <-> 
( ( x M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( x M z )  /\  ( x M z )  <_  ( 2  x.  r ) ) ) )
7539, 41, 72, 74mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( ( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x M z )  e.  ( 0 [,] ( 2  x.  r ) ) )
7675ralrimivva 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( x M z )  e.  ( 0 [,] (
2  x.  r ) ) )
77 ffnov 6113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r ) )  <->  ( M  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. x  e.  X  A. z  e.  X  ( x M z )  e.  ( 0 [,] (
2  x.  r ) ) ) )
7834, 76, 77sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r
) ) )
79 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 2  x.  r )  ->  (
0 [,] x )  =  ( 0 [,] ( 2  x.  r
) ) )
80 feq3 5518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0 [,] x )  =  ( 0 [,] ( 2  x.  r
) )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r
) ) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( 2  x.  r )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r
) ) ) )
8281rspcev 2995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  r
)  e.  RR  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] ( 2  x.  r ) ) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )
8333, 78, 82syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  /\  X  =  (
y ( ball `  M
) r ) ) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
8483expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  ( X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
8584rexlimdvva 2780 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
861, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
8786adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) ) )
8828, 87mpd 15 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Bnd `  X )  /\  X  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
8926, 88pm2.61dane 2628 . . 3  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )
901, 89jca 519 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
91 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )  ->  M  e.  ( Met `  X
) )
92 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  RR )
9391adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
94 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
95 met0 18282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
y M y )  =  0 )
9693, 94, 95syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y M y )  =  0 )
97 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )
9897, 94, 94fovrnd 6157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y M y )  e.  ( 0 [,] x ) )
99 elicc2 10907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M y )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M y )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M y )  /\  ( y M y )  <_  x )
) )
1002, 92, 99sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( ( y M y )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M y )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M y )  /\  ( y M y )  <_  x )
) )
10198, 100mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( ( y M y )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M y )  /\  ( y M y )  <_  x )
)
102101simp3d 971 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y M y )  <_  x )
10396, 102eqbrtrrd 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  x )
10492, 103ge0p1rpd 10606 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR+ )
105 fovrn 6155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) )
1061053expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  (
y M z )  e.  ( 0 [,] x ) )
107106adantlll 699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) )
108 elicc2 10907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x )
) )
1092, 92, 108sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x )
) )
110109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( (
y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <->  ( (
y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x ) ) )
111107, 110mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( (
y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x ) )
112111simp1d 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  e.  RR )
11392adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  x  e.  RR )
114 peano2re 9171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
11592, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
116115adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
117111simp3d 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  <_  x )
118113ltp1d 9873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
119112, 113, 116, 117, 118lelttrd 9160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) )
120119ralrimiva 2732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( y M z )  <  ( x  +  1 ) )
121 rabid2 2828 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) }  <->  A. z  e.  X  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) )
122120, 121sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  X  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  <  ( x  + 
1 ) } )
12393, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
124115rexrd 9067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR* )
125 blval 18322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( x  +  1 )  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) )  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) } )
126123, 94, 124, 125syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) )  =  { z  e.  X  |  ( y M z )  < 
( x  +  1 ) } )
127122, 126eqtr4d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  X  =  ( y ( ball `  M
) ( x  + 
1 ) ) )
128 oveq2 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y ( ball `  M
) r )  =  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) ) )
129128eqeq2d 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( x  + 
1 )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) ( x  +  1 ) ) ) )
130129rspcev 2995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR+  /\  X  =  ( y (
ball `  M )
( x  +  1 ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) r ) )
131104, 127, 130syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  x  e.  RR )  /\  M :
( X  X.  X
) --> ( 0 [,] x ) )  /\  y  e.  X )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( y (
ball `  M )
r ) )
132131ralrimiva 2732 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )  ->  A. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) r ) )
133 isbnd 26180 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. y  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) r ) ) )
13491, 132, 133sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) )  ->  M  e.  ( Bnd `  X
) )
135134ex 424 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) ) )
136135rexlimdva 2773 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) ) )
137136imp 419 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
13890, 137impbii 181 1  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   {crab 2653    C_ wss 3263   (/)c0 3571   class class class wbr 4153    X. cxp 4816   dom cdm 4818   ran crn 4819    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054   2c2 9981   RR+crp 10544   [,]cicc 10851   * Metcxmt 16612   Metcme 16613   ballcbl 16614   Bndcbnd 26167
This theorem is referenced by:  isbnd3b  26185  prdsbnd  26193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-er 6841  df-ec 6843  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-2 9990  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-bnd 26179
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