Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3b Unicode version

Theorem isbnd3b 26187
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3b  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, M    x, X, y, z

Proof of Theorem isbnd3b
StepHypRef Expression
1 isbnd3 26186 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
2 metf 18271 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
32adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  M : ( X  X.  X ) --> RR )
4 ffn 5533 . . . . . 6  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  M  Fn  ( X  X.  X ) )
5 ffnov 6115 . . . . . . 7  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  ( M  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
65baib 872 . . . . . 6  |-  ( M  Fn  ( X  X.  X )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
73, 4, 63syl 19 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
8 0re 9026 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  e.  RR )
10 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  RR )
11 metcl 18273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y M z )  e.  RR )
12113expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( y M z )  e.  RR )
1312adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M z )  e.  RR )
14 metge0 18286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  0  <_  ( y M z ) )
15143expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  0  <_  ( y M z ) )
1615adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( y M z ) )
17 elicc2 10909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x )
) )
18 df-3an 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  (
y M z )  <_  x )  <->  ( (
( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z ) )  /\  ( y M z )  <_  x )
)
1917, 18syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y M z ) )  /\  (
y M z )  <_  x ) ) )
2019baibd 876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y M z ) ) )  -> 
( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( y M z )  <_  x )
)
219, 10, 13, 16, 20syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( y M z )  <_  x )
)
22212ralbidva 2691 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x ) )
237, 22bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x ) )
2423rexbidva 2668 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
2524pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )  <-> 
( M  e.  ( Met `  X )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
261, 25bitri 241 1  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652   class class class wbr 4155    X. cxp 4818    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RRcr 8924   0cc0 8925    <_ cle 9056   [,]cicc 10853   Metcme 16615   Bndcbnd 26169
This theorem is referenced by:  equivbnd  26192  iccbnd  26242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-er 6843  df-ec 6845  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-2 9992  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-icc 10857  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-bnd 26181
  Copyright terms: Public domain W3C validator