Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3b Structured version   Unicode version

Theorem isbnd3b 26475
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3b  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, M    x, X, y, z

Proof of Theorem isbnd3b
StepHypRef Expression
1 isbnd3 26474 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x
) ) )
2 metf 18352 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
32adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  M : ( X  X.  X ) --> RR )
4 ffn 5583 . . . . . 6  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  M  Fn  ( X  X.  X ) )
5 ffnov 6166 . . . . . . 7  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  ( M  Fn  ( X  X.  X
)  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
65baib 872 . . . . . 6  |-  ( M  Fn  ( X  X.  X )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
73, 4, 63syl 19 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x
) ) )
8 0re 9083 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  e.  RR )
10 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  ->  x  e.  RR )
11 metcl 18354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  (
y M z )  e.  RR )
12113expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( y M z )  e.  RR )
1312adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y M z )  e.  RR )
14 metge0 18367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  0  <_  ( y M z ) )
15143expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  0  <_  ( y M z ) )
1615adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( y M z ) )
17 elicc2 10967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  ( y M z )  <_  x )
) )
18 df-3an 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z )  /\  (
y M z )  <_  x )  <->  ( (
( y M z )  e.  RR  /\  0  <_  ( y M z ) )  /\  ( y M z )  <_  x )
)
1917, 18syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y M z ) )  /\  (
y M z )  <_  x ) ) )
2019baibd 876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( y M z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y M z ) ) )  -> 
( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( y M z )  <_  x )
)
219, 10, 13, 16, 20syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <-> 
( y M z )  <_  x )
)
22212ralbidva 2737 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  e.  ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x ) )
237, 22bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x ) )
2423rexbidva 2714 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x )  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
2524pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  E. x  e.  RR  M : ( X  X.  X ) --> ( 0 [,] x ) )  <-> 
( M  e.  ( Met `  X )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
261, 25bitri 241 1  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y M z )  <_  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204    X. cxp 4868    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    <_ cle 9113   [,]cicc 10911   Metcme 16679   Bndcbnd 26457
This theorem is referenced by:  equivbnd  26480  iccbnd  26530
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-bnd 26469
  Copyright terms: Public domain W3C validator