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Theorem iscatOLD 25754
Description: The predicate "is a category". (Contributed by FL, 24-Oct-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
iscatOLD.1  |-  M  =  dom  D
iscatOLD.2  |-  O  =  dom  J
Assertion
Ref Expression
iscatOLD  |-  ( ( ( D  e.  A  /\  C  e.  B  /\  J  e.  F
)  /\  R  e.  G )  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Cat OLD  <->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) R f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, a,
f, g, h    D, a, f, g, h    J, a, f    f, M    R, a, f, g, h
Allowed substitution hints:    A( f, g, h, a)    B( f, g, h, a)    F( f, g, h, a)    G( f, g, h, a)    J( g, h)    M( g, h, a)    O( f, g, h, a)

Proof of Theorem iscatOLD
Dummy variables  c 
d  j  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-catOLD 25753 . . 3  |-  Cat OLD  =  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  = 
<. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  /\  ( ( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `  f
)  =  a  -> 
( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e. 
dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `  f )  =  a  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  f ) ) ) ) }
21eleq2i 2347 . 2  |-  ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  R >. >.  e.  Cat OLD  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  =  <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  /\  (
( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `  f
)  =  a  -> 
( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e. 
dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `  f )  =  a  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  f ) ) ) ) } )
3 opeq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  <. d ,  c >.  =  <. D ,  c >. )
43opeq1d 3802 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  c >. , 
<. j ,  r >. >. )
54eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  <->  <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded ) )
6 dmeq 4879 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  dom  d  =  dom  D )
7 iscatOLD.1 . . . . . . . . 9  |-  M  =  dom  D
86, 7syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  dom  d  =  M )
98eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
f  e.  dom  d  <->  f  e.  M ) )
108eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
g  e.  dom  d  <->  g  e.  M ) )
118eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
h  e.  dom  d  <->  h  e.  M ) )
12 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  h )  =  ( D `  h ) )
1312eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  h
)  =  ( c `
 g )  <->  ( D `  h )  =  ( c `  g ) ) )
14 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  g )  =  ( D `  g ) )
1514eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  g
)  =  ( c `
 f )  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) )
1613, 15anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  ( d `  g )  =  ( c `  f ) )  <->  ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) ) )
1716imbi1d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( d `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( d `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  ( (
( D `  h
)  =  ( c `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
1811, 17imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( h  e.  dom  d  ->  ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( h  e.  M  ->  ( (
( D `  h
)  =  ( c `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
1918ralbidv2 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  ( A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
2010, 19imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( g  e.  dom  d  ->  A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( g  e.  M  ->  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( c `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
2120ralbidv2 2565 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
229, 21imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( f  e.  dom  d  ->  A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( f  e.  M  ->  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( c `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
2322ralbidv2 2565 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
245, 23anbi12d 691 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\ 
A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
258raleqdv 2742 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d ( ( c `
 f )  =  a  ->  ( (
j `  a )
r f )  =  f )  <->  A. f  e.  M  ( (
c `  f )  =  a  ->  ( ( j `  a ) r f )  =  f ) ) )
2625ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `
 f )  =  a  ->  ( (
j `  a )
r f )  =  f )  <->  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( (
c `  f )  =  a  ->  ( ( j `  a ) r f )  =  f ) ) )
27 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  f )  =  ( D `  f ) )
2827eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  f
)  =  a  <->  ( D `  f )  =  a ) )
2928imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a
) )  =  f )  <->  ( ( D `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( j `  a ) )  =  f ) ) )
309, 29imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( f  e.  dom  d  ->  ( ( d `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( j `  a ) )  =  f ) )  <->  ( f  e.  M  ->  ( ( D `  f )  =  a  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  f ) ) ) )
3130ralbidv2 2565 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d ( ( d `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( j `  a ) )  =  f )  <->  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) )
3231ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( j `  a ) )  =  f )  <->  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) )
3326, 32anbi12d 691 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
( A. a  e. 
dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `  f )  =  a  ->  (
( j `  a
) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( j `  a ) )  =  f ) )  <->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  (
( c `  f
)  =  a  -> 
( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e. 
dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) ) )
3424, 33anbi12d 691 . . 3  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\ 
A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `  f
)  =  a  -> 
( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e. 
dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `  f )  =  a  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  f ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  c >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( c `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( c `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
35 opeq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  <. D , 
c >.  =  <. D ,  C >. )
3635opeq1d 3802 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  C >. , 
<. j ,  r >. >. )
3736eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( <. <. D ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded ) )
38 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  g )  =  ( C `  g ) )
3938eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  (
( D `  h
)  =  ( c `
 g )  <->  ( D `  h )  =  ( C `  g ) ) )
40 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  f )  =  ( C `  f ) )
4140eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  (
( D `  g
)  =  ( c `
 f )  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )
4239, 41anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( D `  h )  =  ( c `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  <->  ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) )
4342imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
4443ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
45442ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) )
4637, 45anbi12d 691 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( <. <. D ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( c `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. , 
<. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
4740eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( c `  f
)  =  a  <->  ( C `  f )  =  a ) )
4847imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( c `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  <->  ( ( C `
 f )  =  a  ->  ( (
j `  a )
r f )  =  f ) ) )
49482ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( c `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  <->  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f ) ) )
5049anbi1d 685 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A. a  e. 
dom  j A. f  e.  M  ( (
c `  f )  =  a  ->  ( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f r ( j `  a ) )  =  f ) )  <->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) ) )
5146, 50anbi12d 691 . . 3  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\ 
A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( c `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( c `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) )  <-> 
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\ 
A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
52 opeq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  <. j ,  r >.  =  <. J ,  r >. )
5352opeq2d 3803 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  r >. >. )
5453eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Ded  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Ded )
)
5554anbi1d 685 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) ) ) )
56 dmeq 4879 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  dom  j  =  dom  J )
57 iscatOLD.2 . . . . . . . . 9  |-  O  =  dom  J
5856, 57syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  dom  j  =  O )
5958eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
a  e.  dom  j  <->  a  e.  O ) )
60 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
j `  a )  =  ( J `  a ) )
6160oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  (
( j `  a
) r f )  =  ( ( J `
 a ) r f ) )
6261eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( j `  a ) r f )  =  f  <->  ( ( J `  a )
r f )  =  f ) )
6362imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  <->  ( ( C `
 f )  =  a  ->  ( ( J `  a )
r f )  =  f ) ) )
6463ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  ( A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  <->  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f ) ) )
6559, 64imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  (
( a  e.  dom  j  ->  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f ) )  <->  ( a  e.  O  ->  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `  a ) r f )  =  f ) ) ) )
6665ralbidv2 2565 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  <->  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f ) ) )
6760oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  ( f r ( J `  a
) ) )
6867eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  (
( f r ( j `  a ) )  =  f  <->  ( f
r ( J `  a ) )  =  f ) )
6968imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a
) )  =  f )  <->  ( ( D `
 f )  =  a  ->  ( f
r ( J `  a ) )  =  f ) ) )
7069ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  ( A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a
) )  =  f )  <->  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a
) )  =  f ) ) )
7159, 70imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  (
( a  e.  dom  j  ->  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a
) )  =  f ) )  <->  ( a  e.  O  ->  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a ) )  =  f ) ) ) )
7271ralbidv2 2565 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a
) )  =  f )  <->  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a
) )  =  f ) ) )
7366, 72anbi12d 691 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
( A. a  e. 
dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f r ( j `  a ) )  =  f ) )  <->  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f r ( J `  a ) )  =  f ) ) ) )
7455, 73anbi12d 691 . . 3  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\ 
A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( j `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  dom  j A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( j `  a ) )  =  f ) ) )  <-> 
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
75 opeq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  <. J , 
r >.  =  <. J ,  R >. )
7675opeq2d 3803 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  =  <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >. )
7776eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  r
>. >.  e.  Ded  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded )
)
78 oveq 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
g r f )  =  ( g R f ) )
7978oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
h r ( g r f ) )  =  ( h r ( g R f ) ) )
80 oveq 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
h r ( g R f ) )  =  ( h R ( g R f ) ) )
8179, 80eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
h r ( g r f ) )  =  ( h R ( g R f ) ) )
82 oveq 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( h r g ) r f )  =  ( ( h r g ) R f ) )
83 oveq 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
h r g )  =  ( h R g ) )
8483oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( h r g ) R f )  =  ( ( h R g ) R f ) )
8582, 84eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( h r g ) r f )  =  ( ( h R g ) R f ) )
8681, 85eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f )  <->  ( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) )
8786imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) ) )
8887ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) ) )
89882ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( ( ( D `
 h )  =  ( C `  g
)  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) ) )
9077, 89anbi12d 691 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  r
>. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  R >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  ( (
( D `  h
)  =  ( C `
 g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  -> 
( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) ) ) )
91 oveq 5864 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( J `  a
) r f )  =  ( ( J `
 a ) R f ) )
9291eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( J `  a ) r f )  =  f  <->  ( ( J `  a ) R f )  =  f ) )
9392imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f )  <->  ( ( C `
 f )  =  a  ->  ( ( J `  a ) R f )  =  f ) ) )
94932ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f )  <->  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) R f )  =  f ) ) )
95 oveq 5864 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
f r ( J `
 a ) )  =  ( f R ( J `  a
) ) )
9695eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( f r ( J `  a ) )  =  f  <->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) )
9796imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a
) )  =  f )  <->  ( ( D `
 f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) )
98972ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a
) )  =  f )  <->  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a
) )  =  f ) ) )
9994, 98anbi12d 691 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `
 f )  =  a  ->  ( ( J `  a )
r f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f r ( J `  a ) )  =  f ) )  <->  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `  a ) R f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  (
( D `  f
)  =  a  -> 
( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) ) )
10090, 99anbi12d 691 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h
r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f r ( J `  a ) )  =  f ) ) )  <-> 
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) R f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
10134, 51, 74, 100elo 25041 . 2  |-  ( ( ( D  e.  A  /\  C  e.  B  /\  J  e.  F
)  /\  R  e.  G )  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  =  <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  /\  (
( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d A. h  e.  dom  d ( ( ( d `  h )  =  ( c `  g )  /\  (
d `  g )  =  ( c `  f ) )  -> 
( h r ( g r f ) )  =  ( ( h r g ) r f ) ) )  /\  ( A. a  e.  dom  j A. f  e.  dom  d ( ( c `  f
)  =  a  -> 
( ( j `  a ) r f )  =  f )  /\  A. a  e. 
dom  j A. f  e.  dom  d ( ( d `  f )  =  a  ->  (
f r ( j `
 a ) )  =  f ) ) ) ) }  <->  ( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) R f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
1022, 101syl5bb 248 1  |-  ( ( ( D  e.  A  /\  C  e.  B  /\  J  e.  F
)  /\  R  e.  G )  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Cat OLD  <->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Ded  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  A. h  e.  M  (
( ( D `  h )  =  ( C `  g )  /\  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  ->  ( h R ( g R f ) )  =  ( ( h R g ) R f ) ) )  /\  ( A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( C `  f )  =  a  ->  ( ( J `
 a ) R f )  =  f )  /\  A. a  e.  O  A. f  e.  M  ( ( D `  f )  =  a  ->  ( f R ( J `  a ) )  =  f ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   <.cop 3643   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Dedcded 25734    Cat OLD ccatOLD 25752
This theorem is referenced by:  0catOLD  25758  1cat  25759  dualcat2  25784  setiscat  25979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-catOLD 25753
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