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Theorem iscatd 13903
Description: Properties that determine a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iscatd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  C ) )
iscatd.h  |-  ( ph  ->  H  =  (  Hom  `  C ) )
iscatd.o  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  C ) )
iscatd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
iscatd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( x H x ) )
iscatd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) ) )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f )
iscatd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) ) )  -> 
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f )
iscatd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
iscatd.5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  ->  ( (
k ( <. y ,  z >.  .x.  w
) g ) (
<. x ,  y >.  .x.  w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) )
Assertion
Ref Expression
iscatd  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
Distinct variable groups:    f, g,
y,  .1.    f, k, w, x, z, B, g, y    ph, f, g, k, w, x, y, z    .x. , g    C, f, g, k, w, x, y, z   
f, H, g, k, w
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y, z, w, f, k)    .1. ( x, z, w, k)    H( x, y, z)    V( x, y, z, w, f, g, k)

Proof of Theorem iscatd
StepHypRef Expression
1 iscatd.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( x H x ) )
2 iscatd.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) ) )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f )
323exp2 1172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( f  e.  ( y H x )  ->  (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) ) ) )
43imp31 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
f  e.  ( y H x )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
54ralrimiv 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f )
6 iscatd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) ) )  -> 
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f )
763exp2 1172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( f  e.  ( x H y )  ->  ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) ) ) )
87imp31 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
f  e.  ( x H y )  -> 
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
98ralrimiv 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f )
105, 9jca 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  ( A. f  e.  (
y H x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
1110ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
12 oveq1 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  .1.  ->  (
g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f ) )
1312eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
1413ralbidv 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. f  e.  (
y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
15 oveq2 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  .1.  ->  (
f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  ) )
1615eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
1716ralbidv 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. f  e.  (
x H y ) ( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
1814, 17anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  ( A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) ) )
1918ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) ) )
2019rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( (  .1.  e.  ( x H x )  /\  A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )  ->  E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
211, 11, 20syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
22 iscatd.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
23223expia 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x H z ) ) )
24233exp2 1172 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( z  e.  B  ->  ( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x H z ) ) ) ) ) )
2524imp43 580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) ) )
26 iscatd.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  ->  ( (
k ( <. y ,  z >.  .x.  w
) g ) (
<. x ,  y >.  .x.  w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) )
27263expa 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )  /\  ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  -> 
( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )
28273exp2 1172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( f  e.  ( x H y )  ->  ( g  e.  ( y H z )  ->  ( k  e.  ( z H w )  ->  ( (
k ( <. y ,  z >.  .x.  w
) g ) (
<. x ,  y >.  .x.  w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) ) ) )
2928imp32 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )  /\  ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) ) )  -> 
( k  e.  ( z H w )  ->  ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) )
3029ralrimiv 2790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )  /\  ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) ) )  ->  A. k  e.  (
z H w ) ( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )
3130ex 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) )
3231expr 600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( z  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) ) )
3332exp3a 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( z  e.  B  ->  ( w  e.  B  ->  ( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) ) ) )
3433expr 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  B  -> 
( z  e.  B  ->  ( w  e.  B  ->  ( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) ) ) ) )
3534imp42 579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) )
3635ralrimdva 2798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. w  e.  B  A. k  e.  (
z H w ) ( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )
3725, 36jcad 521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) ) )
3837ralrimivv 2799 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )
3938ralrimivva 2800 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )
4021, 39jca 520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( E. g  e.  (
x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) ) )
4140ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) ) )
42 iscatd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  C ) )
43 iscatd.h . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =  (  Hom  `  C ) )
4443oveqd 6101 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x H x )  =  ( x (  Hom  `  C
) x ) )
4543oveqd 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y H x )  =  ( y (  Hom  `  C
) x ) )
46 iscatd.o . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  C ) )
4746oveqd 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. y ,  x >.  .x.  x )  =  ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) )
4847oveqd 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  ( g (
<. y ,  x >. (comp `  C ) x ) f ) )
4948eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f ) )
5045, 49raleqbidv 2918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f ) )
5143oveqd 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x H y )  =  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
5246oveqd 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  x >.  .x.  y )  =  ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) )
5352oveqd 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  C ) y ) g ) )
5453eqeq1d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )
5551, 54raleqbidv 2918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) )
5650, 55anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )
5742, 56raleqbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )
5844, 57rexeqbidv 2919 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  E. g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) ) )
5943oveqd 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y H z )  =  ( y (  Hom  `  C
) z ) )
6046oveqd 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  .x.  z )  =  ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) )
6160oveqd 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )
6243oveqd 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x H z )  =  ( x (  Hom  `  C
) z ) )
6361, 62eleq12d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  <->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z ) ) )
6443oveqd 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z H w )  =  ( z (  Hom  `  C
) w ) )
6546oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  .x.  w )  =  ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) )
6646oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( <. y ,  z
>.  .x.  w )  =  ( <. y ,  z
>. (comp `  C )
w ) )
6766oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g )  =  ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) )
68 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  f  =  f )
6965, 67, 68oveq123d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( ( k ( <. y ,  z >. (comp `  C ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
w ) f ) )
7046oveqd 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  z
>.  .x.  w )  =  ( <. x ,  z
>. (comp `  C )
w ) )
71 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  k  =  k )
7270, 71, 61oveq123d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) )  =  ( k ( <. x ,  z >. (comp `  C ) w ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ) )
7369, 72eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) )  <->  ( (
k ( <. y ,  z >. (comp `  C ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) )
7464, 73raleqbidv 2918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) )  <->  A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) )
7542, 74raleqbidv 2918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  C
) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) )
7663, 75anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  ( ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
7759, 76raleqbidv 2918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
7851, 77raleqbidv 2918 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ( ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C
) z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
7942, 78raleqbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  C ) A. f  e.  (
x (  Hom  `  C
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ( ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C
) z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
8042, 79raleqbidv 2918 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  C ) A. z  e.  ( Base `  C ) A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ( ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
8158, 80anbi12d 693 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )  <->  ( E. g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) ) )
8242, 81raleqbidv 2918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  C
) ( E. g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) ) )
8341, 82mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  C )
( E. g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
84 iscatd.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
85 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
86 eqid 2438 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
87 eqid 2438 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
8885, 86, 87iscat 13902 . . 3  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  <->  A. x  e.  ( Base `  C
) ( E. g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) ) )
8984, 88syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  A. x  e.  ( Base `  C ) ( E. g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) ) )
9083, 89mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   <.cop 3819   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474    Hom chom 13545  compcco 13546   Catccat 13894
This theorem is referenced by:  iscatd2  13911  0catg  13917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4341
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-iota 5421  df-fv 5465  df-ov 6087  df-cat 13898
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