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Theorem iscatd 13575
Description: Properties that determine a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iscatd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  C ) )
iscatd.h  |-  ( ph  ->  H  =  (  Hom  `  C ) )
iscatd.o  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  C ) )
iscatd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
iscatd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( x H x ) )
iscatd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) ) )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f )
iscatd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) ) )  -> 
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f )
iscatd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
iscatd.5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  ->  ( (
k ( <. y ,  z >.  .x.  w
) g ) (
<. x ,  y >.  .x.  w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) )
Assertion
Ref Expression
iscatd  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
Distinct variable groups:    f, g,
y,  .1.    f, k, w, x, z, B, g, y    ph, f, g, k, w, x, y, z    .x. , g    C, f, g, k, w, x, y, z   
f, H, g, k, w
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y, z, w, f, k)    .1. ( x, z, w, k)    H( x, y, z)    V( x, y, z, w, f, g, k)

Proof of Theorem iscatd
StepHypRef Expression
1 iscatd.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( x H x ) )
2 iscatd.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( y H x ) ) )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f )
323exp2 1169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( f  e.  ( y H x )  ->  (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) ) ) )
43imp31 421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
f  e.  ( y H x )  -> 
(  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
54ralrimiv 2625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f )
6 iscatd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  f  e.  ( x H y ) ) )  -> 
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f )
763exp2 1169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( f  e.  ( x H y )  ->  ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) ) ) )
87imp31 421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
f  e.  ( x H y )  -> 
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
98ralrimiv 2625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f )
105, 9jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  ( A. f  e.  (
y H x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
1110ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
12 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  .1.  ->  B  =  B )
13 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  .1.  ->  (
y H x )  =  ( y H x ) )
14 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  .1.  ->  (
g ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f ) )
1514eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
1613, 15raleqbidv 2748 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. f  e.  (
y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f ) )
17 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  .1.  ->  (
x H y )  =  ( x H y ) )
18 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  .1.  ->  (
f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  ) )
1918eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
2017, 19raleqbidv 2748 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. f  e.  (
x H y ) ( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )
2116, 20anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  .1.  ->  (
( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  ( A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) ) )
2212, 21raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( g  =  .1.  ->  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) ) )
2322rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( (  .1.  e.  ( x H x )  /\  A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) (  .1.  ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y )  .1.  )  =  f ) )  ->  E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
241, 11, 23syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f ) )
25 iscatd.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) ) )  ->  ( g
( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) )
26253expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x H z ) ) )
27263exp2 1169 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  B  ->  ( z  e.  B  ->  ( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  (
g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x H z ) ) ) ) ) )
2827imp43 578 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z ) ) )
29 iscatd.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  /\  (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  ->  ( (
k ( <. y ,  z >.  .x.  w
) g ) (
<. x ,  y >.  .x.  w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) )
30293expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )  /\  ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z )  /\  k  e.  ( z H w ) ) )  -> 
( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )
31303exp2 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( f  e.  ( x H y )  ->  ( g  e.  ( y H z )  ->  ( k  e.  ( z H w )  ->  ( (
k ( <. y ,  z >.  .x.  w
) g ) (
<. x ,  y >.  .x.  w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) ) ) )
3231imp32 422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )  /\  ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) ) )  -> 
( k  e.  ( z H w )  ->  ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) )
3332ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )  /\  ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) ) )  ->  A. k  e.  (
z H w ) ( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )
3433ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) )
3534expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( z  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) ) )
3635exp3a 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( z  e.  B  ->  ( w  e.  B  ->  ( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) ) ) )
3736expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  B  -> 
( z  e.  B  ->  ( w  e.  B  ->  ( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) ) ) ) )
3837imp3a 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( y  e.  B  /\  z  e.  B
)  ->  ( w  e.  B  ->  ( ( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) ) ) )
3938imp31 421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  /\  w  e.  B )  ->  (
( f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) ) ) )
4039ralrimdva 2633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  A. w  e.  B  A. k  e.  (
z H w ) ( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )
4128, 40jcad 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
f  e.  ( x H y )  /\  g  e.  ( y H z ) )  ->  ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) ) )
4241ralrimivv 2634 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )
4342ralrimivva 2635 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )
4424, 43jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( E. g  e.  (
x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) ) )
4544ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) ) )
46 iscatd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  C ) )
47 iscatd.h . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =  (  Hom  `  C ) )
4847oveqd 5875 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x H x )  =  ( x (  Hom  `  C
) x ) )
4947oveqd 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y H x )  =  ( y (  Hom  `  C
) x ) )
50 iscatd.o . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  C ) )
5150oveqd 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. y ,  x >.  .x.  x )  =  ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) )
5251oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( g ( <.
y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  ( g (
<. y ,  x >. (comp `  C ) x ) f ) )
5352eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  ( g
( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f ) )
5449, 53raleqbidv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  <->  A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f ) )
5547oveqd 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x H y )  =  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
5650oveqd 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  x >.  .x.  y )  =  ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) )
5756oveqd 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( f ( <.
x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  ( f (
<. x ,  x >. (comp `  C ) y ) g ) )
5857eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  ( f
( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) )
5955, 58raleqbidv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( x H y ) ( f (
<. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) )
6054, 59anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )
6146, 60raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f ) ) )
6248, 61rexeqbidv 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  <->  E. g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f ) ) )
6347oveqd 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y H z )  =  ( y (  Hom  `  C
) z ) )
6450oveqd 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  .x.  z )  =  ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) )
6564oveqd 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( g ( <.
x ,  y >.  .x.  z ) f )  =  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )
6647oveqd 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x H z )  =  ( x (  Hom  `  C
) z ) )
6765, 66eleq12d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  <->  ( g
( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z ) ) )
6847oveqd 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z H w )  =  ( z (  Hom  `  C
) w ) )
6950oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  .x.  w )  =  ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) )
7050oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( <. y ,  z
>.  .x.  w )  =  ( <. y ,  z
>. (comp `  C )
w ) )
7170oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g )  =  ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) )
72 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  f  =  f )
7369, 71, 72oveq123d 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( k (
<. y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( ( k ( <. y ,  z >. (comp `  C ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
w ) f ) )
7450oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  z
>.  .x.  w )  =  ( <. x ,  z
>. (comp `  C )
w ) )
75 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  k  =  k )
7674, 75, 65oveq123d 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) )  =  ( k ( <. x ,  z >. (comp `  C ) w ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) ) )
7773, 76eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) )  <->  ( (
k ( <. y ,  z >. (comp `  C ) w ) g ) ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) )
7868, 77raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) )  <->  A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) )
7946, 78raleqbidv 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <. y ,  z
>.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y >.  .x.  w
) f )  =  ( k ( <.
x ,  z >.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f ) )  <->  A. w  e.  ( Base `  C
) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) )
8067, 79anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  ( ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
8163, 80raleqbidv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
8255, 81raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ( ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C
) z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
8346, 82raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  A. z  e.  (
Base `  C ) A. f  e.  (
x (  Hom  `  C
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ( ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C
) z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
8446, 83raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  C ) A. z  e.  ( Base `  C ) A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C ) z ) ( ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
8562, 84anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )  <->  ( E. g  e.  ( x
(  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  ( Base `  C
) ( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) ) )
8646, 85raleqbidv 2748 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( E. g  e.  ( x H x ) A. y  e.  B  ( A. f  e.  ( y H x ) ( g (
<. y ,  x >.  .x.  x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x H y ) ( f ( <. x ,  x >.  .x.  y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( g ( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x H z )  /\  A. w  e.  B  A. k  e.  ( z H w ) ( ( k ( <.
y ,  z >.  .x.  w ) g ) ( <. x ,  y
>.  .x.  w ) f )  =  ( k ( <. x ,  z
>.  .x.  w ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  C
) ( E. g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) ) )
8745, 86mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  C )
( E. g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) )
88 iscatd.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
89 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
90 eqid 2283 . . . 4  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
91 eqid 2283 . . . 4  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
9289, 90, 91iscat 13574 . . 3  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  e.  Cat  <->  A. x  e.  ( Base `  C
) ( E. g  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) A. y  e.  (
Base `  C )
( A. f  e.  ( y (  Hom  `  C ) x ) ( g ( <.
y ,  x >. (comp `  C ) x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) ( f ( <.
x ,  x >. (comp `  C ) y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  ( Base `  C
) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) ) )
9388, 92syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  <->  A. x  e.  ( Base `  C ) ( E. g  e.  ( x (  Hom  `  C
) x ) A. y  e.  ( Base `  C ) ( A. f  e.  ( y
(  Hom  `  C ) x ) ( g ( <. y ,  x >. (comp `  C )
x ) f )  =  f  /\  A. f  e.  ( x
(  Hom  `  C ) y ) ( f ( <. x ,  x >. (comp `  C )
y ) g )  =  f )  /\  A. y  e.  ( Base `  C ) A. z  e.  ( Base `  C
) A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z )  /\  A. w  e.  ( Base `  C ) A. k  e.  ( z (  Hom  `  C ) w ) ( ( k (
<. y ,  z >.
(comp `  C )
w ) g ) ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
w ) f )  =  ( k (
<. x ,  z >.
(comp `  C )
w ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) ) ) ) ) )
9487, 93mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   <.cop 3643   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148    Hom chom 13219  compcco 13220   Catccat 13566
This theorem is referenced by:  iscatd2  13583  0catg  13589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-cat 13570
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