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Theorem iscau2 18703
Description: Express the property " F is a Cauchy sequence of metric  D," using an abitrary set of upper integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iscau2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    j, X, k, x

Proof of Theorem iscau2
StepHypRef Expression
1 iscau 18702 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x ) ) ) )
2 elfvdm 5554 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
3 cnex 8818 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
4 elpmg 6786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
52, 3, 4sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
65simprbda 606 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  Fun  F )
7 ffvresb 5690 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
98rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
11 uzid 10242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1211adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
13 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  dom  F  <->  j  e.  dom  F ) )
14 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1514eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  <->  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) )
1613, 15anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
1716rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  -> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
1812, 17syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( j  e. 
dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x ) ) ) )
19 n0i 3460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  j )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x )  ->  -.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) )
20 blf 17961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
21 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ball `  D ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  ->  dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* ) )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  ( ball `  D )  =  ( X  X.  RR* ) )
23 ndmovg 6003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* )  /\  -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )
)  ->  ( ( F `  j )
( ball `  D )
x )  =  (/) )
2423ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* )  ->  ( -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) ) )
2522, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) ) )
2625con1d 116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( -.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/)  ->  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* ) ) )
27 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR* )  -> 
( F `  j
)  e.  X )
2819, 26, 27syl56 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( F `  j
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  -> 
( F `  j
)  e.  X ) )
2928adantld 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3118, 30syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3214eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  j )  e.  X
) )
3314oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  j
) ) )
3433breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  < 
x ) )
3513, 32, 343anbi123d 1252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
3635rspcv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  -> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
3712, 36syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( j  e. 
dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
38 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j
)  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
3937, 38syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
40 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
41 elbl 17949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x ) ) )
4240, 41syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x ) ) )
43 xmetsym 17912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
44433expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  ->  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )
45443adantl3 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
4645breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  x
) )
4746pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
4842, 47bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
49483com23 1157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5049anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  (
( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
51 3anass 938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
x ) ) )
5250, 51syl6bbr 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
5352ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
54533expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `
 j )  e.  X  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
5554adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( F `  j
)  e.  X  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
5631, 39, 55pm5.21ndd 343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5756rexbidva 2560 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
5857adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5910, 58bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
6059ralbidva 2559 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
6160pm5.32da 622 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
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) x ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
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621, 61bitrd 244 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   RR*cxr 8866    < clt 8867   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   Caucca 18679
This theorem is referenced by:  iscau3  18704  iscau4  18705  caun0  18707  caussi  18723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-cau 18682
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