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Theorem iscau2 19232
Description: Express the property " F is a Cauchy sequence of metric  D," using an abitrary set of upper integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iscau2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    j, X, k, x

Proof of Theorem iscau2
StepHypRef Expression
1 iscau 19231 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x ) ) ) )
2 elfvdm 5759 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
3 cnex 9073 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
4 elpmg 7034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC ) 
<->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
52, 3, 4sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( Fun  F  /\  F  C_  ( CC  X.  X ) ) ) )
65simprbda 608 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  Fun  F )
7 ffvresb 5902 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
98rexbidv 2728 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
109adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
11 uzid 10502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
1211adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
13 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  dom  F  <->  j  e.  dom  F ) )
14 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1514eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  <->  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) )
1613, 15anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <-> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
1716rspcv 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  -> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) ) ) )
1812, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( j  e. 
dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x ) ) ) )
19 n0i 3635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  j )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x )  ->  -.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) )
20 blf 18439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
21 fdm 5597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ball `  D ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  ->  dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  ( ball `  D )  =  ( X  X.  RR* ) )
23 ndmovg 6232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* )  /\  -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )
)  ->  ( ( F `  j )
( ball `  D )
x )  =  (/) )
2423ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( ball `  D
)  =  ( X  X.  RR* )  ->  ( -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) ) )
2522, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( -.  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/) ) )
2625con1d 119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( -.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  =  (/)  ->  ( ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* ) ) )
27 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR* )  -> 
( F `  j
)  e.  X )
2819, 26, 27syl56 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( F `  j
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  -> 
( F `  j
)  e.  X ) )
2928adantld 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3029ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3118, 30syld 43 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
3214eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  j )  e.  X
) )
3314oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  j
) ) )
3433breq1d 4224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  < 
x ) )
3513, 32, 343anbi123d 1255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
3635rspcv 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  -> 
( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
3712, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( j  e. 
dom  F  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
38 simp2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  dom  F  /\  ( F `  j
)  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
3937, 38syl6 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
40 rpxr 10621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
41 elbl 18420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x ) ) )
4240, 41syl3an3 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x ) ) )
43 xmetsym 18379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
44433expa 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X
)  /\  ( F `  k )  e.  X
)  ->  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )
45443adantl3 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
4645breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x  <->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  x
) )
4746pm5.32da 624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
4842, 47bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  ( ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
49483com23 1160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k )  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D ) x )  <-> 
( ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5049anbi2d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  (
( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
51 3anass 941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
x ) ) )
5250, 51syl6bbr 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
5352ralbidv 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
54533expia 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( F `
 j )  e.  X  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
5554adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
( F `  j
)  e.  X  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
5631, 39, 55pm5.21ndd 345 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x ) )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5756rexbidva 2724 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
5857adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  ( ( F `
 j ) (
ball `  D )
x ) )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5910, 58bitrd 246 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
) ( ball `  D
) x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
6059ralbidva 2723 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC )
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j ) ( ball `  D
) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
6160pm5.32da 624 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> ( ( F `  j
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) x ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
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( F `  k
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   dom cdm 4880    |` cres 4882   Fun wfun 5450   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^pm cpm 7021   CCcc 8990   RR*cxr 9121    < clt 9122   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   * Metcxmt 16688   ballcbl 16690   Caucca 19208
This theorem is referenced by:  iscau3  19233  iscau4  19234  caun0  19236  caussi  19252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-neg 9296  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-bl 16699  df-cau 19211
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