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Theorem iscau3 18704
Description: Express the Cauchy sequence property in the more conventional three-quantifier form. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscau3.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
iscau3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
iscau3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, m, x, D    j, F, k, m, x    ph, j,
k, x    j, X, k, m, x    j, M   
j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    ph( m)    M( x, k, m)    Z( m)

Proof of Theorem iscau3
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2 iscau2 18703 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
41adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
5 ssid 3197 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  ZZ
6 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
7 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  j )  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  j )  e.  X
) )
8 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  m )  e.  X
) )
9 xmetsym 17912 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
109fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) ) )  =  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) ) )
11 xmetsym 17912 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  m )  e.  X  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 m ) D ( F `  j
) )  =  ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )
1211fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  m )  e.  X  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  (  _I  `  ( ( F `  m ) D ( F `  j ) ) )  =  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
13 simp1 955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
14 simp2l 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( F `  k )  e.  X
)
15 simp3l 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( F `  j )  e.  X
)
16 xmetcl 17896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  j
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  e.  RR* )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  e. 
RR* )
18 simp2r 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( F `  m )  e.  X
)
19 xmetcl 17896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  m
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) )  e.  RR* )
2013, 15, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  e. 
RR* )
21 simp3r 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR )
2221rehalfcld 9958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  /  2 )  e.  RR )
2322rexrd 8881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  /  2 )  e. 
RR* )
24 xlt2add 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  e.  RR*  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  e.  RR* )  /\  ( ( x  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( x  /  2
)  e.  RR* )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) + e ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
( ( x  / 
2 ) + e
( x  /  2
) ) ) )
2517, 20, 23, 23, 24syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) + e ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
( ( x  / 
2 ) + e
( x  /  2
) ) ) )
26 rexadd 10559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR  /\  ( x  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( x  /  2 ) + e ( x  / 
2 ) )  =  ( ( x  / 
2 )  +  ( x  /  2 ) ) )
2722, 22, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  /  2 ) + e ( x  /  2 ) )  =  ( ( x  /  2 )  +  ( x  /  2
) ) )
2821recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  CC )
29282halvesd 9957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  /  2 )  +  ( x  / 
2 ) )  =  x )
3027, 29eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  /  2 ) + e ( x  /  2 ) )  =  x )
3130breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) + e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  ( ( x  /  2 ) + e ( x  /  2 ) )  <-> 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) + e
( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x
) )
32 xmettri 17915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X  /\  ( F `
 j )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <_  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) + e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
3313, 14, 18, 15, 32syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <_ 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) + e
( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) ) )
34 xmetcl 17896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( F `  m
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  e.  RR* )
3513, 14, 18, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  e. 
RR* )
3617, 20xaddcld 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) + e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  e.  RR* )
3721rexrd 8881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR* )
38 xrlelttr 10487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  e.  RR*  /\  (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) + e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <_  (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) + e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  /\  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) + e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  x )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <_  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) + e ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  /\  ( ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) + e ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  < 
x )  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
4033, 39mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) + e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  x  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
4131, 40sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) + e ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) ) )  <  ( ( x  /  2 ) + e ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
4225, 41syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  ( x  /  2 )  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  ( x  /  2 ) )  ->  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) )  <  x
) )
43 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  e. 
_V
44 fvi 5579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )
4543, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )
4645breq1i 4030 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  ( x  / 
2 )  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
( x  /  2
) )
47 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  e. 
_V
48 fvi 5579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )
4947, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
`  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )
5049breq1i 4030 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  ( x  / 
2 )  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  < 
( x  /  2
) )
5146, 50anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  <->  ( (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  ( x  / 
2 )  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) )  <  ( x  / 
2 ) ) )
52 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  e. 
_V
53 fvi 5579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )
5452, 53ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )
5554breq1i 4030 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )
5642, 51, 553imtr4g 261 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( F `
 k )  e.  X  /\  ( F `
 m )  e.  X )  /\  (
( F `  j
)  e.  X  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )  <  ( x  /  2 )  /\  (  _I  `  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) ) )  <  ( x  / 
2 ) )  -> 
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x ) )
575, 6, 7, 8, 10, 12, 56cau3lem 11838 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
584, 57syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x ) ) )
5945breq1i 4030 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
x )
6059anbi2i 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
61 df-3an 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6260, 61bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6362ralbii 2567 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
6463rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )  <  x
)  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6564ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (  _I  `  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
6655ralbii 2567 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x  <->  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )
6766anbi2i 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
68 df-3an 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
6967, 68bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7069ralbii 2567 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
7170rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
(  _I  `  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
7271ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) (  _I 
`  ( ( F `
 k ) D ( F `  m
) ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
7358, 65, 723bitr3g 278 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
74 iscau3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7574adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  M  e.  ZZ )
76 iscau3.2 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
7776rexuz3 11832 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
7875, 77syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
7978ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
8073, 79bitr4d 247 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) ) )
8180pm5.32da 622 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
823, 81bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    _I cid 4304   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   + ecxad 10450   * Metcxmt 16369   Caucca 18679
This theorem is referenced by:  iscau4  18705  caucfil  18709  cmetcaulem  18714  heibor1lem  26533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-cau 18682
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