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Theorem iscau4 19237
Description: Express the property " F is a Cauchy sequence of metric  D," using an arbitrary set of upper integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscau3.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
iscau3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscau4.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
iscau4.6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  B )
Assertion
Ref Expression
iscau4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    ph, j, k, x   
j, X, k, x   
j, M    j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    A( x, j, k)    B( x, j, k)    M( x, k)

Proof of Theorem iscau4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscau3.2 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iscau3.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
3 iscau3.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
41, 2, 3iscau3 19236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
5 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
65, 1syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7 eluzelz 10501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
8 uzid 10505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
96, 7, 83syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
10 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  j )
)
11 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1211oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )
1312breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
1410, 13raleqbidv 2918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
1514rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
169, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
1716adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
18 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
1918oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )
2019breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
2120cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x )
22 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
2322ralimi 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  X )
2411eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  j )  e.  X
) )
2524rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  X  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
269, 23, 25syl2im 37 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
2726imp 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
28 r19.26 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  <  x
)  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x ) )
292ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
30 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( F `  j
)  e.  X )
31 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( F `  k
)  e.  X )
32 xmetsym 18382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )
3433breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  <  x  <->  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
3534biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  <  x  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
3635expimpd 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
3736ralimdv 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
3828, 37syl5bir 211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
3938exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
4039impancom 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( ( F `
 j )  e.  X  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
4127, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
4221, 41syl5bi 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
4317, 42syld 43 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
4443imdistanda 676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
45 r19.26 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
46 r19.26 2840 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  x
)  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
4744, 45, 463imtr4g 263 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
x ) ) )
48 df-3an 939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
4948ralbii 2731 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
50 df-3an 939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
5150ralbii 2731 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
5247, 49, 513imtr4g 263 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5352reximdva 2820 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5453ralimdv 2787 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5554anim2d 550 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )  -> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
564, 55sylbid 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
57 uzssz 10510 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
581, 57eqsstri 3380 . . . . . . . 8  |-  Z  C_  ZZ
59 ssrexv 3410 . . . . . . . 8  |-  ( Z 
C_  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6160ralimi 2783 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6261anim2i 554 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
63 iscau2 19235 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
6462, 63syl5ibr 214 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )  ->  F  e.  ( Cau `  D ) ) )
652, 64syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  ->  F  e.  ( Cau `  D ) ) )
6656, 65impbid 185 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
67 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
j  e.  Z )
681uztrn2 10508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
6967, 68jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( j  e.  Z  /\  k  e.  Z
) )
70 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
7170adantrl 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( F `  k
)  =  A )
7271eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( F `  k )  e.  X  <->  A  e.  X ) )
73 iscau4.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  B )
7473adantrr 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( F `  j
)  =  B )
7571, 74oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  =  ( A D B ) )
7675breq1d 4225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  x  <->  ( A D B )  <  x ) )
7772, 763anbi23d 1258 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  < 
x ) ) )
7869, 77sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
7978anassrs 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8079ralbidva 2723 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8180rexbidva 2724 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8281ralbidv 2727 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8382anbi2d 686 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) ) )
8466, 83bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^pm cpm 7022   CCcc 8993    < clt 9125   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   RR+crp 10617   * Metcxmt 16691   Caucca 19211
This theorem is referenced by:  iscauf  19238  cmetcaulem  19246  caures  26480  caushft  26481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-2 10063  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-bl 16702  df-cau 19214
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