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Theorem iscau4 18809
Description: Express the property " F is a Cauchy sequence of metric  D," using an arbitrary set of upper integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iscau3.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
iscau3.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iscau4.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
iscau4.6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  B )
Assertion
Ref Expression
iscau4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, D    j, F, k, x    ph, j, k, x   
j, X, k, x   
j, M    j, Z, k, x
Allowed substitution hints:    A( x, j, k)    B( x, j, k)    M( x, k)

Proof of Theorem iscau4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscau3.2 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iscau3.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
3 iscau3.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
41, 2, 3iscau3 18808 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) ) ) )
5 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  Z )
65, 1syl6eleq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7 eluzelz 10330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
8 uzid 10334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
96, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
10 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  ( ZZ>=
`  k )  =  ( ZZ>= `  j )
)
11 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
1211oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  m
) ) )
1312breq1d 4114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
1410, 13raleqbidv 2824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  j  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  <->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
1514rspcv 2956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
169, 15syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  ->  A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
18 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
1918oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  j
) D ( F `
 m ) )  =  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) ) )
2019breq1d 4114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x  <->  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x ) )
2120cbvralv 2840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  < 
x  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x )
22 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( F `  k )  e.  X
)
2322ralimi 2694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  X )
2411eleq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  e.  X  <->  ( F `  j )  e.  X
) )
2524rspcv 2956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  X  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
269, 23, 25syl2im 34 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( F `  j )  e.  X
) )
2726imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( F `  j )  e.  X
)
28 r19.26 2751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  <  x
)  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x ) )
292ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
30 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( F `  j
)  e.  X )
31 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( F `  k
)  e.  X )
32 xmetsym 18014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F `  j )  e.  X  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  =  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) ) )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) ) )
3433breq1d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  <  x  <->  ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
3534biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j
)  e.  X )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 j ) D ( F `  k
) )  <  x  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
3635expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  j
) D ( F `
 k ) )  <  x )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
3736ralimdv 2698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
3828, 37syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
3938exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  ( F `  j )  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
4039impancom 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( ( F `
 j )  e.  X  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  < 
x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
4127, 40mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  k ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
4221, 41syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  j ) D ( F `  m ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
4317, 42syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
4443imdistanda 674 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
45 r19.26 2751 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  <-> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x ) )
46 r19.26 2751 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  x
)  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )
4744, 45, 463imtr4g 261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X
)  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  < 
x ) ) )
48 df-3an 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  x ) )
4948ralbii 2643 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )
50 df-3an 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
5150ralbii 2643 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X )  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
5247, 49, 513imtr4g 261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5352reximdva 2731 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. m  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5453ralimdv 2698 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) )
5554anim2d 548 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
x ) )  -> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
564, 55sylbid 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) ) ) )
57 uzssz 10339 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
581, 57eqsstri 3284 . . . . . . . 8  |-  Z  C_  ZZ
59 ssrexv 3314 . . . . . . . 8  |-  ( Z 
C_  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
6058, 59ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  ->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6160ralimi 2694 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )
6261anim2i 552 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) )
63 iscau2 18807 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
6462, 63syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) )  ->  F  e.  ( Cau `  D ) ) )
652, 64syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  ->  F  e.  ( Cau `  D ) ) )
6656, 65impbid 183 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x ) ) ) )
67 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
j  e.  Z )
681uztrn2 10337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
6967, 68jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( j  e.  Z  /\  k  e.  Z
) )
70 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
7170adantrl 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( F `  k
)  =  A )
7271eleq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( F `  k )  e.  X  <->  A  e.  X ) )
73 iscau4.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  B )
7473adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( F `  j
)  =  B )
7571, 74oveq12d 5963 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  =  ( A D B ) )
7675breq1d 4114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) D ( F `  j
) )  <  x  <->  ( A D B )  <  x ) )
7772, 763anbi23d 1255 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  Z ) )  -> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 j ) )  <  x )  <->  ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  < 
x ) ) )
7869, 77sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
7978anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8079ralbidva 2635 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8180rexbidva 2636 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8281ralbidv 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) )
8382anbi2d 684 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  j ) )  <  x ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) ) )
8466, 83bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  A  e.  X  /\  ( A D B )  <  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   dom cdm 4771   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    ^pm cpm 6861   CCcc 8825    < clt 8957   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   RR+crp 10446   * Metcxmt 16468   Caucca 18783
This theorem is referenced by:  iscauf  18810  cmetcaulem  18818  caures  25800  caushft  25801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-2 9894  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmet 16475  df-bl 16477  df-cau 18786
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