Theorem iscauf 7939

Description: Express the property "F is a Cauchy sequence of metric D " presupposing F is a function.

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D
iscau3.3	|- N e. ZZ
iscau3.4	|- Z = (ZZ>` N)

Assertion

Ref	Expression
iscauf	|- ((D e. Met /\ F:Z-->X) -> (F e. (Cau` D) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))

Distinct variable groups:   j,k,x,F   D,j,k,x   j,N,k   j,X,k,x   j,Z,k,x

Proof of Theorem iscauf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmbr.1	. . 3 |- X = dom dom D
2		iscau3.3	. . 3 |- N e. ZZ
3		iscau3.4	. . 3 |- Z = (ZZ>` N)
4	1, 2, 3	iscau3 7938	. 2 |- (D e. Met -> (F e. (Cau` D) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
5		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:Z-->X /\ j e. Z) -> (F` j) e. X)
6	5	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> (F` j) e. X)
7		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:Z-->X /\ k e. Z) -> (F` k) e. X)
8	7	adantlr 393	. . . . . . . . . . 11 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> (F` k) e. X)
9	6, 8	jca 288	. . . . . . . . . 10 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X))
10	9	biantrurd 727	. . . . . . . . 9 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> (((F` j)D(F` k)) < x <-> (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X) /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))
11		df-3an 777	. . . . . . . . 9 |- (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x) <-> (((F` j) e. X /\ (F` k) e. X) /\ ((F` j)D(F` k)) < x))
12	10, 11	syl6bbr 538	. . . . . . . 8 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> (((F` j)D(F` k)) < x <-> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))
13	12	imbi2d 612	. . . . . . 7 |- (((F:Z-->X /\ j e. Z) /\ k e. Z) -> ((j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
14	13	ralbidva 1659	. . . . . 6 |- ((F:Z-->X /\ j e. Z) -> (A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
15	14	rexbidva 1660	. . . . 5 |- (F:Z-->X -> (E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x) <-> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))
16	15	imbi2d 612	. . . 4 |- (F:Z-->X -> ((0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x)) <-> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))))
17	16	ralbidv 1663	. . 3 |- (F:Z-->X -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))))
18		fssxp 3637	. . . . 5 |- (F:Z-->X -> F (_ (Z X. X))
19		uzssz 6430	. . . . . . . . 9 |- (ZZ>` N) (_ ZZ
20		zsscn 6143	. . . . . . . . 9 |- ZZ (_ CC
21	19, 20	sstri 2073	. . . . . . . 8 |- (ZZ>` N) (_ CC
22	3, 21	eqsstr 2091	. . . . . . 7 |- Z (_ CC
23		ssid 2080	. . . . . . 7 |- X (_ X
24		ssxp 3256	. . . . . . 7 |- ((Z (_ CC /\ X (_ X) -> (Z X. X) (_ (CC X. X))
25	22, 23, 24	mp2an 697	. . . . . 6 |- (Z X. X) (_ (CC X. X)
26		sstr 2072	. . . . . 6 |- ((F (_ (Z X. X) /\ (Z X. X) (_ (CC X. X)) -> F (_ (CC X. X))
27	25, 26	mpan2 696	. . . . 5 |- (F (_ (Z X. X) -> F (_ (CC X. X))
28	18, 27	syl 10	. . . 4 |- (F:Z-->X -> F (_ (CC X. X))
29	28	biantrurd 727	. . 3 |- (F:Z-->X -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))) <-> (F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x))))))
30	17, 29	bitr2d 529	. 2 |- (F:Z-->X -> ((F (_ (CC X. X) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j) e. X /\ (F` k) e. X /\ ((F` j)D(F` k)) < x)))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))
31	4, 30	sylan9bb 540	1 |- ((D e. Met /\ F:Z-->X) -> (F e. (Cau` D) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> ((F` j)D(F` k)) < x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486  ZZ>cuz 6417  Metcme 7789  Caucca 7920

This theorem is referenced by:  causs 7955  iscms2lem3 7991  cncms 7998  bcthlem22 8020  hhcms 9072  hhsscms 9150

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-2 5970  df-z 6136  df-uz 6418  df-met 7793  df-cau 7923

Copyright terms: Public domain