MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil Structured version   Unicode version

Theorem iscfil 19210
Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, X, y    x, D, y

Proof of Theorem iscfil
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilfval 19209 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (CauFil `  D )  =  {
f  e.  ( Fil `  X )  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) } )
21eleq2d 2502 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  F  e.  { f  e.  ( Fil `  X
)  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) } ) )
3 rexeq 2897 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( E. y  e.  f 
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x )  <->  E. y  e.  F  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
43ralbidv 2717 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
54elrab 3084 . 2  |-  ( F  e.  { f  e.  ( Fil `  X
)  |  A. x  e.  RR+  E. y  e.  f  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) }  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) )
62, 5syl6bb 253 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312    X. cxp 4868   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982   RR+crp 10604   [,)cico 10910   * Metcxmt 16678   Filcfil 17869  CauFilccfil 19197
This theorem is referenced by:  iscfil2  19211  cfilfil  19212  cfilss  19215  cfilucfil3OLD  19263  cfilucfil3  19264  cmetcuspOLD  19299  cmetcusp  19300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-xr 9116  df-xmet 16687  df-cfil 19200
  Copyright terms: Public domain W3C validator