MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil2 Structured version   Unicode version

Theorem iscfil2 19221
Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, F    w, X, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem iscfil2
StepHypRef Expression
1 iscfil 19220 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x ) ) ) )
2 xmetf 18361 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
32ad3antrrr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
4 ffun 5595 . . . . . . . 8  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  Fun 
D )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  Fun  D )
6 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
7 filelss 17886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
86, 7sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
9 xpss12 4983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  X  /\  y  C_  X )  -> 
( y  X.  y
)  C_  ( X  X.  X ) )
108, 8, 9syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  X.  y ) 
C_  ( X  X.  X ) )
11 fdm 5597 . . . . . . . . 9  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
D  =  ( X  X.  X ) )
123, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  dom  D  =  ( X  X.  X ) )
1310, 12sseqtr4d 3387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  X.  y ) 
C_  dom  D )
14 funimassov 6225 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  D  /\  (
y  X.  y ) 
C_  dom  D )  ->  ( ( D "
( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x )  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  e.  ( 0 [,) x ) ) )
155, 13, 14syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  (
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x )  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  e.  ( 0 [,) x
) ) )
16 0xr 9133 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
1716a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  0  e.  RR* )
18 simpllr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  x  e.  RR+ )
1918rpxrd 10651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  x  e.  RR* )
20 simp-4l 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
218sselda 3350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  X )
2221adantrr 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  z  e.  X )
238sselda 3350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  X )
2423adantrl 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  w  e.  X )
25 xmetcl 18363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X
)  ->  ( z D w )  e. 
RR* )
2620, 22, 24, 25syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  ( z D w )  e. 
RR* )
27 xmetge0 18376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X
)  ->  0  <_  ( z D w ) )
2820, 22, 24, 27syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  0  <_  ( z D w ) )
29 elico1 10961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( z D w )  e.  ( 0 [,) x )  <->  ( (
z D w )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D w )  /\  ( z D w )  < 
x ) ) )
30 df-3an 939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z D w )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D w )  /\  ( z D w )  < 
x )  <->  ( (
( z D w )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D w ) )  /\  (
z D w )  <  x ) )
3129, 30syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( z D w )  e.  ( 0 [,) x )  <->  ( (
( z D w )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D w ) )  /\  (
z D w )  <  x ) ) )
3231baibd 877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  /\  ( ( z D w )  e.  RR*  /\  0  <_  ( z D w ) ) )  ->  ( (
z D w )  e.  ( 0 [,) x )  <->  ( z D w )  < 
x ) )
3317, 19, 26, 28, 32syl22anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  /\  (
z  e.  y  /\  w  e.  y )
)  ->  ( (
z D w )  e.  ( 0 [,) x )  <->  ( z D w )  < 
x ) )
34332ralbidva 2747 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  e.  ( 0 [,) x )  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
3515, 34bitrd 246 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  F )  ->  (
( D " (
y  X.  y ) )  C_  ( 0 [,) x )  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
3635rexbidva 2724 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  F  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x )  <->  E. y  e.  F  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
3736ralbidva 2723 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D " ( y  X.  y
) )  C_  (
0 [,) x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
3837pm5.32da 624 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  ( D " ( y  X.  y ) ) 
C_  ( 0 [,) x ) )  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  <  x
) ) )
391, 38bitrd 246 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  F  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   dom cdm 4880   "cima 4883   Fun wfun 5450   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   0cc0 8992   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   RR+crp 10614   [,)cico 10920   * Metcxmt 16688   Filcfil 17879  CauFilccfil 19207
This theorem is referenced by:  cfili  19223  fgcfil  19226  iscfil3  19228  cfilresi  19250  cfilres  19251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-2 10060  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-xmet 16697  df-fbas 16701  df-fil 17880  df-cfil 19210
  Copyright terms: Public domain W3C validator