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Theorem iscfil3 19226
Description: A filter is Cauchy iff it contains a ball of any chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) ) )
Distinct variable groups:    x, r, F    X, r, x    D, r, x

Proof of Theorem iscfil3
Dummy variables  u  s  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilfil 19220 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 cfil3i 19222 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
323expa 1153 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F )
43ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
51, 4jca 519 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F ) )
6 simprl 733 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
7 rphalfcl 10636 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
87adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
9 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  (
x ( ball `  D
) r )  =  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
109eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  (
( x ( ball `  D ) r )  e.  F  <->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
) )
1110rexbidv 2726 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  ( E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F  <->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
) )
1211rspcv 3048 . . . . . . 7  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )
138, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )
14 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
)
15 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
16 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  X )
17 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR+ )
1817rpred 10648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR )
19 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
20 blhalf 18435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
s  e.  RR  /\  u  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) ) )  ->  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  (
u ( ball `  D
) s ) )
2115, 16, 18, 19, 20syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  (
u ( ball `  D
) s ) )
22 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
2321, 22sseldd 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  ( u ( ball `  D ) s ) )
2417rpxrd 10649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR* )
2517, 7syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
2625rpxrd 10649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( s  /  2 )  e. 
RR* )
27 blssm 18448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( s  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) 
C_  X )
2815, 16, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  X
)
2928, 19sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  X )
3028, 22sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  X )
31 elbl2 18420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  s  e.  RR* )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X ) )  -> 
( v  e.  ( u ( ball `  D
) s )  <->  ( u D v )  < 
s ) )
3215, 24, 29, 30, 31syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( v  e.  ( u ( ball `  D ) s )  <-> 
( u D v )  <  s ) )
3323, 32mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( u D v )  < 
s )
3433ralrimivva 2798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  A. u  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) A. v  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) ( u D v )  < 
s )
35 raleq 2904 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  ->  ( A. v  e.  y 
( u D v )  <  s  <->  A. v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) ( u D v )  <  s ) )
3635raleqbi1dv 2912 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s  <->  A. u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) A. v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ( u D v )  <  s ) )
3736rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F  /\  A. u  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) A. v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) ( u D v )  <  s )  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s )
3814, 34, 37syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s )
3938rexlimdvaa 2831 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  X  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) )  e.  F  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
s ) )
4013, 39syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s ) )
4140ralrimdva 2796 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u D v )  <  s ) )
4241impr 603 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
)
43 iscfil2 19219 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
) ) )
4443adantr 452 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
) ) )
456, 42, 44mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  F  e.  (CauFil `  D )
)
465, 45impbida 806 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   RR*cxr 9119    < clt 9120    / cdiv 9677   2c2 10049   RR+crp 10612   * Metcxmt 16686   ballcbl 16688   Filcfil 17877  CauFilccfil 19205
This theorem is referenced by:  equivcfil  19252  flimcfil  19266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-bl 16697  df-fbas 16699  df-fil 17878  df-cfil 19208
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