MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil3 Unicode version

Theorem iscfil3 18715
Description: A filter is Cauchy iff it contains a ball of any chosen size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) ) )
Distinct variable groups:    x, r, F    X, r, x    D, r, x

Proof of Theorem iscfil3
Dummy variables  u  s  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilfil 18709 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 cfil3i 18711 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
323expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F )
43ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F
)
51, 4jca 518 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F ) )
6 simprl 732 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
7 rphalfcl 10394 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  RR+  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
9 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  (
x ( ball `  D
) r )  =  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
109eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  (
( x ( ball `  D ) r )  e.  F  <->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
) )
1110rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( s  / 
2 )  ->  ( E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) r )  e.  F  <->  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
) )
1211rspcv 2893 . . . . . . 7  |-  ( ( s  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )
138, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. x  e.  X  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )
14 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  e.  F
)
15 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
1615adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
17 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  x  e.  X )
18 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR+ )
1918rpred 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR )
20 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
21 blhalf 17976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  x  e.  X )  /\  (
s  e.  RR  /\  u  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) ) )  ->  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  (
u ( ball `  D
) s ) )
2216, 17, 19, 20, 21syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  (
u ( ball `  D
) s ) )
23 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) )
2422, 23sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  ( u ( ball `  D ) s ) )
2518rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  s  e.  RR* )
2618, 7syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( s  /  2 )  e.  RR+ )
2726rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( s  /  2 )  e. 
RR* )
28 blssm 17984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( s  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) 
C_  X )
2916, 17, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) )  C_  X
)
3029, 20sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  u  e.  X )
3129, 23sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  v  e.  X )
32 elbl2 17966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  s  e.  RR* )  /\  ( u  e.  X  /\  v  e.  X ) )  -> 
( v  e.  ( u ( ball `  D
) s )  <->  ( u D v )  < 
s ) )
3316, 25, 30, 31, 32syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( v  e.  ( u ( ball `  D ) s )  <-> 
( u D v )  <  s ) )
3424, 33mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  /\  ( u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  /\  v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ) )  ->  ( u D v )  < 
s )
3534ralrimivva 2648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  A. u  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) A. v  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) ( u D v )  < 
s )
36 raleq 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  ->  ( A. v  e.  y 
( u D v )  <  s  <->  A. v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) ( u D v )  <  s ) )
3736raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x (
ball `  D )
( s  /  2
) )  ->  ( A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s  <->  A. u  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) A. v  e.  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) ) ( u D v )  <  s ) )
3837rspcev 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F  /\  A. u  e.  ( x
( ball `  D )
( s  /  2
) ) A. v  e.  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) ) ( u D v )  <  s )  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s )
3914, 35, 38syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  (
x  e.  X  /\  ( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F ) )  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s )
4039expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x ( ball `  D ) ( s  /  2 ) )  e.  F  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
s ) )
4140rexlimdva 2680 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  X  ( x ( ball `  D
) ( s  / 
2 ) )  e.  F  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  < 
s ) )
4213, 41syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  s  e.  RR+ )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y 
( u D v )  <  s ) )
4342ralrimdva 2646 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  ->  ( A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x
( ball `  D )
r )  e.  F  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  (
u D v )  <  s ) )
4443impr 602 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
)
45 iscfil2 18708 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
) ) )
4645adantr 451 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. s  e.  RR+  E. y  e.  F  A. u  e.  y  A. v  e.  y  ( u D v )  <  s
) ) )
476, 44, 46mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) )  ->  F  e.  (CauFil `  D )
)
485, 47impbida 805 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( F  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e.  X  ( x (
ball `  D )
r )  e.  F
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   RR*cxr 8882    < clt 8883    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387   Filcfil 17556  CauFilccfil 18694
This theorem is referenced by:  equivcfil  18741  flimcfil  18755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-xmet 16389  df-bl 16391  df-fbas 17536  df-fil 17557  df-cfil 18697
  Copyright terms: Public domain W3C validator