MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscld3 Unicode version

Theorem iscld3 16907
Description: A subset is closed iff it equals its own closure. (Contributed by NM, 2-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iscld3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J
) `  S )  =  S ) )

Proof of Theorem iscld3
StepHypRef Expression
1 cldcls 16885 . 2  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )
2 clscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
32clscld 16890 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
4 eleq1 2418 . . 3  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  =  S  ->  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
53, 4syl5ibcom 211 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  =  S  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) ) )
61, 5impbid2 195 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J
) `  S )  =  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   U.cuni 3908   ` cfv 5337   Topctop 16737   Clsdccld 16859   clsccl 16861
This theorem is referenced by:  iscld4  16908  clsidm  16910  clstop  16912  cls0  16923  cldlp  16987  cldbnd  25568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-top 16742  df-cld 16862  df-cls 16864
  Copyright terms: Public domain W3C validator